2.7 无限深势阱距离和模拟 Infinite square w

2.7 无限深势阱距离和模拟 Infinite square w

作者: 莎野椰 | 来源:发表于2020-05-30 15:13 被阅读0次

https://www.youtube.com/watch?v=jDdbOljMZOw&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=19

前言

求解薛定谔方程的步骤
- 求解TISE, 得到静态方程
- 应用边界条件，求得静态方程的波函数，能量
- 对静态波函数进行归一化
- 得到正交化的 $\Psi_n(x)集合，加入时间部分，得到\Psi_n(x,t)$
- 用 $\Psi_n(x,t)$ 的叠加态（通解）来表示边界条件(initial conditions)
- 根据波函数结果确定体系的行为

1. 举例说明

举例
$\Psi_n(x) = \sqrt{\frac 2 a } \sin{\frac{n\pi}a} x, E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2ma^2}$
$\Psi_n(x,t) = \sqrt{\frac 2 a } \sin{\frac{n\pi}a} x e^{i\frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2ma^2} \frac t \hbar }$
分段函数
$\Psi(x,0) = \begin{cases} \sqrt{\frac{3}{a}} (1-\frac{a/2-x}{a/2}) 0<x<a/2\\ \sqrt{\frac{3}{a}} (1-\frac{x-a/2}{a/2}) a/2<x<a\\ 0\\ \end{cases}$
image.png

接下来需要仔细理解一下：
- 已知 $\Psi(x,0)$ 的表达式
- 如何用 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n \Psi_n(x,0)$ 的形式表达，注意 $\Psi的下标$
- 根据傅立叶变换技巧，可以得到 $c_n = \int \Psi^*_n(x)f(x)dx \ \ \ (Lecture2.6)$
  的求解方法，然后把 $f(x)和\Psi_n(x,0)带入得到$
  image.png

- 接着可以利用[SageMath](http://https://www.sagemath.org/ "SageMath")软件化简上述积分公式
- 代码

image.png

- 求解结果

image.png

3. 举例计算

image.png

用stage计算

image.png

最终得到的结果如下图所示，是一个测不准的x值

image.png
Falstad:模拟软件,模拟不同波的叠加波函数

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