第5课转置-置换向量空间R

作者: rascalpotato | 来源:发表于2019-06-01 11:07 被阅读0次

大纲

转换
线性代数的大门“向量空间”

置换

置换矩阵： 记作P，用来完成行列互换的矩阵。作用，置换行得到主元（检查主元位置是否为零）

$A=LU= \underbrace{\begin{bmatrix}1&0&0\\a&1&0\\b&c&1\end{bmatrix}}_{L} \underbrace{\begin{bmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{bmatrix}}_{U}$

$PA=LU$ (包含行互换的消元)对于任意可逆矩阵 $A$ 都有这种形式；大多数可逆 $A$ 都不需要 $P$ ，但也有很多矩阵需要行互换

置换矩阵是行重新排列了的单位矩阵， $P$ 总的个数为 $n!$ (即 $n(n-1)(n-2)(n-3)\dots(3)(2)(1)$ ，各行重新排列后所有可能的数目，所有转换矩阵都是可逆的，而且逆矩阵与其转置相等

$P^{-1} = P^T;P^TP=I$

转置

转置：记作 $T$ ，

${\begin{bmatrix}1&3\\2&3\\4&1\end{bmatrix}}^T=\begin{bmatrix}1&2&4\\3&3&1\end{bmatrix}, (A^T)_{ij} = A_{ji}$

对称矩阵
$A^T=A \\\begin{bmatrix}3&1&7\\1&2&9\\7&9&4\end{bmatrix}$

所有 $R^TR$ 都是对称的

$\begin{bmatrix}1&3\\2&3\\4&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&4\\3&3&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}10&11&7\\11&13&11\\7&11&17\end{bmatrix}$

验证对称性： $(R^TR)^T = R^TR^{TT}=R^TR$

向量空间

向量空间：

空间表示有很多向量，一整个空间的向量。但并不是任意向量的组合都能称空间，
空间必须满足一定的规则，能够进行加法和数乘运算，必须能够进行线性组合

例：

$R^2为xy平面$

$R^3为所有三维向量组成的向量空间$

$R^n$

不能对数乘封闭都不是向量空间

$R^2$ 中的子向量空间：

所有 $R^2$
通过原点的所有直线 $L$
0向量

$R^3$ 中的子向量空间：

$R^3$ 本身（极端）
0向量（极端）
穿过原点的平面
穿过原点的直线

子空间是如何得到的？矩阵是如何构造子空间的？

方法一：通过列向量构造，各列在 $R^3$ 中，所有的线性组合构成一个子空间。（用这些列来构造 $R^3$ 的子空间，各列的和在 $R^3$ 空间中，各列乘以任何数也在 $R^3$ 子空间内）

$A=\begin{bmatrix}1&3\\2&3\\4&1\end{bmatrix}$

何为线性组合?指列一乘以某数，列二乘以某数，然后相加。它包括两种运算，数乘和加法，只要包含了所有的线性组合，就必然得到向量子空间。叫做列空间记作 $C(A)$ , $C$ 代表列空间。

本节核心思想：通过某些向量，构成一个向量组成的空间，如果这些向量属于 $R^3$ ,它们构成的空间也在 $R^3$ 内，关键是，对其进行线性组合后仍然在子空间内

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