向量

了解向量之前，先了解什么是标量

• 标量：只有大小，例如：1，12，13等
• 向量是有方向的标量，即不仅有大小，还有方向

单位向量
单位向量是长度为1的向量，向量长度通过下列公式计算

向量的模的计算

如果一个向量不是单位向量，可以通过单位化将其转化为单位向量，即 非零向量除以向量的模，如下图所示

向量单位化

向量点乘

• 点乘只能发生在两个向量之间，且点乘时，两向量必须是单位向量，如果不是，需要将向量进行单位化后，再点乘

• 点乘得到的是两个向量之间的夹角的余弦值 即 cosα，范围在[-1, 1]之间，是一个标量

  
  向量点乘

• OpenGL中针对相应点乘，提供了两个函数
  • m3dDotProduct3：获得2个向量量之间的点乘结果，即余弦值 = cosα
  • m3dGetAngleBetweenVector3：获取2个向量之间夹⻆的角度，即α = arccos(余弦值)

向量叉乘

• 两个向量之间叉乘得到结果同样是一个向量，且该向量垂直于两个向量所构成的平面，

• 由于结果与两向量构成平面垂直，也可以理解为得到的结果是该平面的法线

  
  向量叉乘

• OpenGL中针对向量叉乘也提供了对应的API

  • m3dCrossProduct3：获得2个向量之间的叉乘结果得到一个新的向量

OpenGL中向量

• 向量的表示：有两种方式，三维和四维，如图所示

math3d库中的数据类型	说明
M3DVector3f	表示⼀一个三维向量量(x,y,z)
M3DVector4f	表示⼀一个四维向量量(x,y,z,w) w是缩放因子，在典型情况下，w一般设置为1.0，x、y、z值通过除以w，来进行缩放，当w=1.0时，想xyz的值本质上不会发生变化

• 关于向量点乘和叉乘对应API汇总

  
  OpenGL中向量的API

矩阵

单位矩阵

• 主对角线上数据都是1，其余元素都是0，即为单元矩阵
• 向量 X 单元矩阵 = 向量 X 1，不会发生任何变化
• 向量与单元矩阵相乘的前提是：向量的列数 == 单元矩阵的行数

矩阵分类

• 行优先矩阵：一行一行读取
• 列优先矩阵：一列一列读取
• 两者的关系为：行优先矩阵经过转置 即可的到列优先矩阵

矩阵分类

矩阵的点乘

• 矩阵可以进行点乘的前提：两个矩阵的行列数相等

• 矩阵A · 矩阵B = 矩阵C
  -规则： 矩阵A的第一个元素与矩阵B的第一个元素的乘积 = 矩阵C的第一个元素

  
  矩阵点乘

矩阵的叉乘

• 矩阵可以进行叉乘的前提：第一个矩阵的列数 = 第二个矩阵的行数
• 矩阵A X 矩阵B = 矩阵C

  • 规则：矩阵A第一行与矩阵B第一列对应元素乘积的综合 = 矩阵C的第一个元素

    
    矩阵叉乘

OpenGL中的矩阵

• OpenGL中单元矩阵有3中初始化方法

  • 通过GLFloat定义一个一维数组
    

    矩阵初始化方式1

  • 通过M3DMatrix44f创建一个单元矩阵
    

    单元矩阵初始化方式2

- 通过方法`m3dLoadIdentity44f`创建单元矩阵

void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m);

• OpenGL中，使用较多的矩阵都是一维数组创建的，且规定使用以列为主的矩阵排序。
• OpenGL中的矩阵都是4x4的，每一列都是由4个元素组成的向量，如图所示
  • 第一列表示x轴方向
  • 第二列表示y轴方向
  • 第三列表示z轴方向
  • 第四列表示交换位置
  • 列向量进行了特殊的标注，表示这是以列为主的矩阵，主要体现为矩阵的最后一行都是0，只有最后一个元素为1

OpenGL中的4X4矩阵

理解OpenGL中的矩阵相乘

数学角度

• 数学中为了方便计算，都是以行矩阵为标准，从左到右的顺序进行计算，所以在数学中，顶点将以行向量的方式表示
• 从数学角度理解mvp矩阵的计算，由于顶点是行向量，要满足矩阵相乘的规定条件（即 叉乘的前提），必须将mvp矩阵放在右边，属于右乘
  • 顶点向量 = V_local * M_model * M_view * M_pro

  • 顶点向量 = 顶点 * 模型矩阵 * 观察矩阵 * 投影矩阵

    
    数学角度

OpenGL角度

• OpenGL中的矩阵规定是以列为主，所以顶点以列向量的方式表示

• 从OpenGL角度理解mvp矩阵的计算，由于顶点是列向量，如果项进行矩阵规则，就需要满足矩阵相乘的条件，需要将mvp矩阵的顺序颠倒为pvm，且放在列向量的左边，属于左乘

  
  OpenGL角度

OpenGL矩阵堆栈中矩阵相乘源码分析
从OpenGL矩阵堆栈中矩阵相乘源码分析，主要有以下3步
-从栈顶获取栈顶矩阵，复制到mTemp

• 将栈顶矩阵 mTemp 左乘 mMatrix

• 将结果放回栈顶，覆盖栈顶矩阵

  
  矩阵相乘源码

而我们在观察者不动、物体动的观察方式中，根据之前Demo代码可知

代码中矩阵堆栈变化

• ChangeSize函数中，得到投影矩阵，将投影矩阵压入投影矩阵堆栈栈顶，并与模型视图矩阵栈顶相乘，将结果覆盖栈顶，即 投影矩阵 * 单元矩阵 = 投影矩阵
• RenderScene函数中，将栈顶矩阵copy一份，然后将观察者矩阵与模型视图矩阵堆栈栈顶相乘，其结果覆盖栈顶矩阵，即投影矩阵 * 视图矩阵 = 视图投影矩阵
• 得到模型矩阵，将模型矩阵与栈顶矩阵相乘，其结果覆盖栈顶矩阵，即 栈顶 = 模型视图投影矩阵

上述代码，矩阵堆栈的变化过程如下

堆栈变化过程

由此可知，在实际的代码中，mvp矩阵的计算顺序是pvm，最后再将mvp矩阵与顶点矩阵相乘，得到物体变换后的顶点和位置。