图的最短路径

Dijkstra算法&Floyd算法

一、Dijkstra算法

Dijkstra算法思想： 只计算v0出发到其他顶点的距离。

v0: V0开始的顶点;
p[v]: 前驱顶点下标;
D[v]: 表示从V0到V的最短路径长度和;

void ShortestPath_Dijkstra(MGraph G, int v0, Patharc *P, ShortPathTable *D)
{
    int v,w,k,min;
    k = 0;
    /*final[w] = 1 表示求得顶点V0~Vw的最短路径*/
    int final[MAXVEX];
    
    /*1.初始化数据*/
    for(v=0; v<G.numVertexes; v++)
    {
        //全部顶点初始化为未知最短路径状态0
        final[v] = 0;
        //将与V0 点有连线的顶点最短路径值;
        (*D)[v] = G.arc[v0][v];
        //初始化路径数组p = 0;
        (*P)[v] = 0;
    }
    
    //V0到V0的路径为0
    (*D)[v0] = 0;
    //V0到V0 是没有路径的.
    final[v0] = 1;
    //v0到V0是没有路径的
    (*P)[v0] = -1;
    
  
    
    //2. 开始主循环,每次求得V0到某个顶点的最短路径
    for(v=1; v<G.numVertexes; v++)
    {
        
        //当前所知距离V0顶点最近的距离
        min=INFINITYC;
        /*3.寻找离V0最近的顶点，G.numVertexes顶点个数*/
        for(w=0; w<G.numVertexes; w++)
        {
            if(!final[w] && (*D)[w]<min)
            {
                k=w;
                //w顶点距离V0顶点更近
                min = (*D)[w];
            }
        }
        
        //将目前找到最近的顶点置为1;
        final[k] = 1;
        
        /*4.把刚刚找到v0到v1最短路径的基础上,对于v1 与 其他顶点的边进行计算,得到v0与它们的当前最短距离;*/
        for(w=0; w<G.numVertexes; w++)
        {
            //如果经过v顶点的路径比现在这条路径长度短,则更新
            if(!final[w] && (min + G.arc[k][w]<(*D)[w]))
            {
                //找到更短路径, 则修改D[W],P[W]
                //修改当前路径的长度
                (*D)[w] = min + G.arc[k][w];
                (*P)[w]=k;
            }
        }
    }
}

输出

ShortestPath_Dijkstra(G, v0, &P, &D);
    
    printf("最短路径路线:\n");
    for(i=1;i<G.numVertexes;++i)
    {
        printf("v%d -> v%d : ",v0,i);
        j=i;
        while(P[j]!=-1)
        {
            printf("%d ",P[j]);
            j=P[j];
        }
        printf("\n");
    }
    
    printf("\n最短路径权值和\n");
    for(i=1;i<G.numVertexes;++i)
        printf("v%d -> v%d : %d \n",G.vexs[0],G.vexs[i],D[i]);

二、Floyd算法

Floyd算法思想：求网图G中各顶点v到其余顶点w的最短路径P[v][w]及带权长度D[v][w]。
Patharc 和 ShortPathTable 都是二维数组;

void ShortestPath_Floyd(MGraph G, Patharc *P, ShortPathTable *D)
{
    int v,w,k;
    
    /* 1. 初始化D与P 矩阵*/
    for(v=0; v<G.numVertexes; ++v)
    {
        for(w=0; w<G.numVertexes; ++w)
        {
            /* D[v][w]值即为对应点间的权值 */
            (*D)[v][w]=G.arc[v][w];
             /* 初始化P P[v][w] = w*/
            (*P)[v][w]=w;
        }
    }
    
    //2.K表示经过的中转顶点
    for(k=0; k<G.numVertexes; ++k)
    {
        for(v=0; v<G.numVertexes; ++v)
        {
            for(w=0; w<G.numVertexes; ++w)
            {
                /*如果经过下标为k顶点路径比原两点间路径更短 */
                if ((*D)[v][w]>(*D)[v][k]+(*D)[k][w])
                {
                    /* 将当前两点间权值设为更小的一个 */
                    (*D)[v][w]=(*D)[v][k]+(*D)[k][w];
                    /* 路径设置为经过下标为k的顶点 */
                    (*P)[v][w]=(*P)[v][k];
                }
            }
        }
    }
}

输出

//打印所有可能的顶点之间的最短路径以及路线值
    printf("各顶点间最短路径如下:\n");
    for(v=0; v<G.numVertexes; ++v)
    {
        for(w=v+1; w<G.numVertexes; w++)
        {
            printf("v%d-v%d weight: %d ",v,w,D[v][w]);
            //获得第一个路径顶点下标
            k=P[v][w];
            //打印源点
            printf(" path: %d",v);
            //如果路径顶点下标不是终点
            while(k!=w)
            {
                //打印路径顶点
                printf(" -> %d",k);
                //获得下一个路径顶点下标
                k=P[k][w];
            }
            //打印终点
            printf(" -> %d\n",w);
        }
        printf("\n");
    }
    
    //打印最终变换后的最短路径D数组
    printf("最短路径D数组\n");
    for(v=0; v<G.numVertexes; ++v)
    {
        for(w=0; w<G.numVertexes; ++w)
        {
            printf("%d\t",D[v][w]);
        }
        printf("\n");
    }
    //打印最终变换后的最短路径P数组
    printf("最短路径P数组\n");
    for(v=0; v<G.numVertexes; ++v)
    {
        for(w=0; w<G.numVertexes; ++w)
        {
            printf("%d ",P[v][w]);
        }
        printf("\n");
    }
    ```