这一节符号众多，稍有不慎就会陷入符号的海洋，再也看不见理论的实质了。

伽罗华扩张

就是域和群的对应，域是域扩张形成的中间域，群则是伽罗华群的子群，有限伽罗华扩张情形，对应是一一的。

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理想的分解

然后就是把这一套理论应用于理想上面，由于上面的理论是关于域的，所以必须构建出理想生成的域，也就是剩余类域，于是剩余类域的伽罗华扩张，自然的诱导出域和群的对应。分解群，分解域，惯性群，惯性域，其实就是把之前的素理想分解中的素除子，分歧指标，个数使用代数中的群表示了。
然后是弗比尼自同构，通过分解的因子的对应构造出整体的对应，也就是素理想的对应，分式理想群和伽罗华群的同态。
最后是理想类群，分式理想群商主理想群，这个群的元素个数是类数，类数为一时，有唯一因式分解性质。
后面需要代数几何的知识，就放一放吧。

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这书其实不应该看的，如字面所写的，根本看不懂，里面的证明性的内容更是没打算去看，这样的数学已经远远超越了日常甚至非日常所需，是属于那些天才的领域。其实，虽说是天才，也算不得什么天才，只是可以全身心投入数学事业的人而已，虽然得到了很多，也失去了很多。
不过，在看下去之后，发现所谓的艰难，无法理解，并非如此，里面的种种性质，公式，构造并不陌生，只是在符号的海洋中看不清楚他们的本质。比如这一整章，讲理想，其实就是在讲代数整数环中的素理想在扩环中的分解，这种分解可以通过多种方式进行，一种是环论的方式，一种是指标的方式，还有一种是伽罗华群的方式。他们的目的就是解决素理想的表示问题。
代数数论，一般被认为是最难的学问之一，还有代数几何，颇有数学婆罗门的意味，似乎掌握了他们就就有了骄傲的资本，可以站在鄙视链的顶端。只不过，他们还是问题面向的，那就难不到哪里去，即使是算术代数几何，同伦代数，甚至是环宇宙际代数，这些最先进的理论，都是为了解决问题而构造出来的。于是，按照这样的逻辑，先列出来已知的理论，然后将问题转化过来，给出一大堆新的定义，然后套进模板里面去，发现额外的情况，就定义出新的结构层级来，于是就在原本的基础上加盖了一层。
其实研究这样的理论的人，是在追求一种宁静，就像禅，瑜伽一般，忘却了时间的流动和生活的烦恼，获得了精妙而纯粹的精神体验。他们对物质需求并不大，而且要想获得种种美妙物质的话，也绝非难事，其实也是寻道者，试图在有限的人生中获取无限的意义。所以，如果这些人发现了宁静的本质，抛弃数学其实也没什么不可的，这种层面的数学本就是出世间的程度了。在数百年后估计都不会被利用上。从以技载道者，进一步成为以身载道者，不亦乐乎。