12.1 无限采样（量化），混叠和Nyquist准则
这里首先说一说无限采样，量化的意思：在日常生活中，我们经常采样的数据长度是有限的，由于采集设备和时间的要求。但是在理想情况下，我们可以假设我们从一个无限长的连续信号中，以一定步长采样信号，并且离散量化这个连续信号，这就是无限采样的一般理解。
MRI 信号 s(k) 一般是在k-space中空间均匀间隔分布的离散点聚集而成的。对于一个固定的read gradient GR， 我们可以通过每隔 △t 的时间沿着读取方向，来获得信号，从而实现采样的目的。k-space 空间频率分辨率和采样间隔时间的关系有如下形式。
在第p步获取得到的信号为s(p△k)。 p的所有取值集合对应了信号的无限采样的极限。这里考虑把连续无限信号与采样函数相乘，采样函数的形式如下，是无数个均匀间隔分布的delta函数之和构成的。
使用这样的采样函数与连续信号s(k) 相乘，可以得到：
可以发现，delta函数的系数就是我们之前采样的信号s(p△k)。
左边是空间频域的函数调制采样过程，右边是对应的时间域各自函数的卷积过程
s_{\inf}(k) 的逆傅里叶变换 可以推导得到spin density p(x)的近似值或者称之为重建图像。这样一个重建图像用`p_{\inf}(x) 来表示，它的计算式可以表示为：
从另外一个角度来考虑得到`p_{\inf}(x) ：
U(x)是一个采样函数，与上图的u(k) 对应：
这样，我们可以得到一个重建图像的表达式：
12.2 Nyquist 采样准则
从上面的结果咱们可以看到，重建图像具有周期性，以1/△k 为一个周期, 这里把1/△k 记作 L 。L 是重建图像重复出现的空间间隔，也被称之为 field-of-view(FOV)
这里，为了重建图像，我们选择其中一个完整信号，截断，即可得到重建的的图像，但是很多时候，重建的图像重建出现的周期过短，导致重建图像会重叠到一块去，这样我们阶段的图像和ground-truth之间就存在很明显的不同，这种不同，我们定义为伪迹（artifacts）。这种类型的伪迹就是我们常说的aliasing 问题。为了消除这种aliasing，我们需要找到一个方法，来判断在采样重建过程是否会发生这样的混叠现象。
从上图中不难看出，如果被探测到的物体区域的尺寸A 比L 小的话，那么，在以L为周期，将重建物体的图像向左右周期延展的过程中，不会发生重合混叠的现象，我们也可以很容易，从其中一个周期内，获得完整无混叠的重建图像。这就是Nyquist采样定理。
第一行：A<L 无混叠现象产生 第二行：A>L 有混叠现象产生
这里成像物体的尺寸要比FOV L 大，导致重建图像中，脖子部分又周期性了一次
Nyquist准则 在读取方向的应用
当采样的信号以△k分隔 ，梯度GR(t)沿着读取方向施加时，我们有：
对于特例，boxcar 梯度，我们可以进而写成：
最后可以得到这样的一个很有用的式子，用来测算设备参数和相关物理量。
Nyquist频率也可以根据这个特例的式子得出：
Nyquist准则 在相位编码方向的应用
Nyquist 的关系适用于3D成像的任意一个方向，所以，在相位编码方向，我们也可以得到相似的结果表达式。
τPE为相位编码脉冲的持续时间，一般是一个固定常数
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