实数

有理数，一个被翻译玩儿坏的数学概念

　　“你还有理了？！”当你听到父母说这句话的时候，请记住，一定不要把它理解成是一句表扬的话。往往这句话后，接下来的事儿不说你也清楚，男子单打，女子单打，混合双打……各种鸡鸣狗跳……

　　但这句话也未必不是一句表扬的话，因为你在证明自己观点的过程中不自觉得运用了逻辑，并构成了一个理论上自洽的系统，致使父母没办法以同样的方式推翻它，而不得不借助于权威——棍棒。

　　“有理”，从字面意义上看就是有道理。但当用“有理”来给一类数命名时，这个名称就略显得没那么有道理了。

　　我们很自然地知道，自然数即Natural Number，那么有理数呢？Rational Number。Rational这个英语单词的意义的确有“理性”或“道理”的意思，但何以数还分成有理和无理呢，难道有些数会显得比另外一些数更加有理性吗？产生这样的问题是很自然的事，但这个其实是被翻译玩儿坏的一个数学概念，以讹传讹，沿用至今，以至于没人再去追究它本来的意义。

　　但这是一个天大的误会。Ration在英语中的含义是理性，那作为形容词的rational翻译成有理的，这的确是无懈可击的。但问题出在，这个词来源于ratio，它不仅有理性之义，还有比例之义。那也就是说rational number应该翻译成“成比例的数”。没错，事实就是这样。

　　说到比例，如果回忆你小学时的数学课的话，你先想到的形式是2：3或者其它什么东西。那么2：3还可以用什么方式来表示呢？2/3，这是什么数啊？分数啊！只要上过小学的人都知道的知识。

　　那么有理数，也就是“成比例的数”，指的就是可以写成分数形式的所有数，自然数自然可以，比如2，我们可以写成2/1，虽然实际上我们不这么写，因为这太麻烦，违反了经济原则（就是追求以最小的努力来获取最大的利益，这个原则在生活的各个方面几乎都是适用的，这是否从侧面证明人天生是懒惰的呢？可能吧！）你看，如果我们有了有理数这个概念，那么所有的自然数、小数（可以写成分数的形式，包括循环小数）、所有的整数（无论是正的还是负的）、0等就都包括在其内了，因此说“有理数”这个概念的产生，使数系从自然数发展到整数之后，又向前迈进了一步——实数。

　　实数包括哪些类数呢？我们学过的关于实数的定义一定是“所有有理数与无理数的总称。”你看，问题接着就来了——“无理数”出现了。有了上面的分析，你大概不会再认为“无理数”就是没有道理的数了吧。因为它的实际意义应该是“不成比例的数”，也就是不能用分数形式表达的数。

　　我们在认识这个问题的时候，往往会自然地认为，肯定是先有了有理数才有无理数的。这个说法既对又不对。根据认识规律，我们是从“有”开始认识“无”的，也可以说是从开始认识“肯定”再认识“否定”的，从这个角度理解，这句话好像是十分正确的。但如果从概念产生的先后顺序来讲，则一定是先产生的无理数概念，才产生了有理数的概念。

　　这事儿说来话长。

　　人类自从认识了自然数，认识了序数后，加法就比较自然地产生了。加法的产生又导致了乘法的产生。加法和乘法的逆向运算又导致了减法和除法的产生。减法的产生导致了负数的产生，而除法则导致了一个令人无解的事儿，而这个困惑的解决，就是无理数概念的产生。

　　刚才我们已经谈了有理数的问题，所有的有理数都可以用分数的形式表达，但无理数却不能，它们不能以分数的形式表示，且是无限的不循环的数，也就是在当时人们的认知范围内，人们没有办法表示出来，也写不出来。但它又是现实存在的。那么，我们就从现实存在来谈起。

　　古代人很早就有了几何学。人们一般认为几何学产生于日常生活中对于丈量的需要。比如要丈量一块地的面积或这块地某个边的长度。土地的形状是不规则的，所以他们在丈量之前先要把地分割成规则的形状。三角形就是最基本的规则形状，这也是认识和学习整个几何学的基础（欧氏几何）。一个任意的多边形都可以分割成大小不一的三角形，只要知道了三角形的面积计算方法，加在一起就可以知道任何形状的面积了（这儿，我们先不谈圆形或弧形事物面积的丈量和计算问题）。

　　而三角形中有一类是特殊的，即直角三角形。古代人很早就知道了如果一个三角形的边长分别是3、4、5，那么这个三角形一定是直角三角形。于是，利用这个最简单的知识，人们可以丈量几乎所有形状的土地面积了。

　　怎么操作呢？先假设一个基本的单位，比如米，比如英尺（英尺其实就是某位英国国王的脚的长度），这些单位最开始是非常随意的规定，没有什么规律可言，就像我们将狗叫狗而不叫猪一样随意。有了单位之后，他们就用3、4、5的倍数，先将直角的两边按倍数放大，然后他的斜边长度自然就可以知道了，如6、8、10，再如9、12、15等等。你肯定会觉得，这多麻烦啊，不是可以用勾股定理吗？是的，这就是勾股定理！但这个定理所涉及的都是一个个具体的常数，还没有被抽象为一般的规律以适应所有的常数，走出这一步是人类认识的一个巨大进步。并且，埃及人确实就是这么干的，虽然办法很笨，但解决了他们的实际问题。并且请你注意这可是发生在3000多年之前的事。

　　希腊人大概是最早知道3^2+4^2＝5^2的，所以在此，我们假定他们已经认识到了a^2+b^2=c^2这个一般规律了。西方人称之为毕达哥拉斯定理。你或许认为毕达哥拉斯是个伟大的数学家，恭喜你，你说对了，但只说对了一部分。他不仅仅是位伟大的数学家，更是一位伟大的哲学家。

　　关于毕达哥拉斯这个人我还是想多说点。他基本上算是一个神秘主义者吧。比如，他认为人不能吃豆子，不能过豆子地，而他本人就是因为不愿走豆子地而被追兵杀死的。我们现在是不是觉得事儿有点搞笑？但我们真不能笑他，因为正是他对信仰的执着追求才能给他以力量啊！这位“豆子先生”认为万事万物的本质都是数。我们先不去探讨这是多么无稽可笑，但正是他坚持认为世界的本质是数，才有了数学的发展，才有了我们下面的话题，而这个问题是否动摇了他的世界观，我们不知道，但动摇了当时数学的基础却大概是真的。这在数学史上被称为“第一次危机”。

　　事情的起因是这样的，我们还是从毕达哥拉斯定理开始说起。

　　存在这样一个等腰直角三角形，它的两个直角边是1，那么它的斜边是多少呢？我们假设斜边长是一个有理数（提醒：这时还没有有理数和无理数之分），也就是可以写成分数的形式，那么我们可以用m/n来表示，这个没毛病吧。那么根据毕达哥拉斯定理，这个等式m2/n2=2是不是成立啊？绝对成立。接下来我们要把m^2/n^2化为最简形式，也就是约分啊。我们假设，作为分子和分母的m和n已经没有公约数了，也就是最简形式了，那么m和n中必有一个是奇数，这也没有毛病吧（如果两个都是偶数的话，那就不是最简形式了）？哪一个呢？肯定不是m啊，因为m^2=2n^2啊（无论n^2是什么，乘以2肯定是偶数啊），所以肯定n是奇数。既然m是个偶数，那么我们假设它等于2p，这也没有问题吧？那么好了，4p^2=2n^2，再约分，n^2=2p^2，那么n就是个偶数。这与我们先前的推论相反。天哪！多么得不可思议，这说明一个什么问题？说明我们明明知道有一个数存在，却不能用分数表达出来，多么可怕！还说数是世界的本质呢！

　　至于这场危机是怎么解决的，我想你大概可以推想出来了，人们又发明了一个无理数的概念，于是无理数加上有理数，实数数系就发展起来。当然，这说来简单，实际上也是一个很漫长的过程，至于怎样完成的，由谁来完成的，这不是我这儿要说的重点。

　　那我的重点是什么呢？有理数不是说它多么的有理，而是说这个数可以写成分数的形式，是“成比例的数”，而无理数也不比有理数显得那么有无理，它们是不能被写成分数的形式，是“不成比例的数”。

　　这才是重点，仅此而已。