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11.2.2 无约束优化问题
无约束优化问题是指目标函数不存在约束条件包括上下限幅值约束。无约束优化问题的标准形式为：
在工程优化中，用于求解无约束优化问题的方法非常多，包括最简单的高等数学微分法，即优化函数在极值点处的偏微分为零，进而可以求解方程，获取无约束优化问题的极值点。在数值解法中，无约束优化问题的求解包括一维搜索，最速下降法，共轭梯度法，牛顿法和拟牛顿法等。Matlab优化工具箱提供了fminunc函数和fminsearch函数用于求解无约束优化问题。fminunc函数的调用格式如下：
x = fminunc(fun,x0)
x = fminunc(fun,x0,options)
[x,fval] = fminunc(...)
[x,fval,exitflag] = fminunc(...)
[x,fval,exitflag,output] = fminunc(...)
[x,fval,exitflag,output,grad] = fminunc(...)
[x,fval,exitflag,output,grad,hessian] = fminunc(...)
在fminunc函数的输出中，包含了grad和hessian两个参数。其中grad表示目标函数在最优解处的梯度，而hessian参数表示目标函数在最优解处的Hessian矩阵。fminunc函数退出标志取值及相关含义描述如表11.4所示。对于fminunc函数的options设置，通过设置HessUpdate属性值来选择拟牛顿法的搜索方法，包括bfgs，dfp和stepdesc方法。同时也可以设置Gradobj属性选项和Hessian选项来确定是否使用目标函数梯度和Hessian矩阵信息。
表11.4 fminunc函数exitflag标志及含义描述
| exitflag标志 | 含义描述 |
|---|---|
| 1 | 返回目标函数最优解梯度幅值小于给定容差 |
| 2 | 优化变量x的变化小于给定容差TolX属性值 |
| 3 | 目标函数值的变化小于给定误差TolFcn属性值 |
| 0 | 目标函数最大计算次数超过MaxFunEvals属性值或者最大迭代次数MaxIter |
| -1 | 算法由于输出函数而终止 |
| -2 | 在当前搜索方向上线性搜索无法找到可行解 |
【例11.3】求解无约束优化问题：
如图11.2所示为无约束优化函数的三维图形，图11.3为三维等高线图。
图11-2 优化函数的三维图形
图11-3 函数三维等高线图
首先建立目标函数M文件：
function feval=fminsearch_demo(x)
feval = 2*x(1)^2+4*x(1)*x(2)^2-5*x(1)*x(2)+x(2)^2;
然后在Matlab命令窗口中输入：
x0=[0;0];
[x,fval,exitflag,output,grad,hessian] = fminunc(' fminsearch_demo ',x0)
在Matlab命令窗口总显示(省略了ouput输出结构体数据)：
x =
0
0
fval =
0
exitflag =
1
%还包括目标函数在最优解处的梯度和Hessian矩阵
grad =
1.0e-007 *
0.2000
0.1000
hessian =
4.0000 -5.0000
-5.0000 2.0000
在fminunc函数中，可以设置options结构体选项，考虑目标函数的梯度和Hessian矩阵。输入以下的命令行程序，同样可以得到相同的计算结果。
function [feval,grad] = myfun(x)
feval = 2*x(1)^2+4*x(1)*x(2)^2-5*x(1)*x(2)+x(2)^2;
%定义目标函数的梯度
if nargout > 1
grad(1) = 4*x(1)+4*x(2)^2-5*x(2);
grad(2) = 8*x(1)*x(2)-5*x(1)+ 2*x(2);
end
%在Matlab命令行窗口中输入：
options = optimset('GradObj','on'); %options属性项设置
x0 = [0;0]; %初始值
[x,fval,exitflag,output,grad,hessian] = fminunc(@myfun,x0,options)
fminunc函数在进行无约束优化问题求解时，要求判断目标函数在优化变量处的梯度和Hessian矩阵，因此fminunc函数仅适用于目标函数为连续的情况，同时fminunc只能用来求解优化变量为实数的问题，当优化变量为复数时，需要将问题分解成实部和虚部分别进行无约束优化求解。
除了fminunc函数外，Matlab工具箱还提供了fminsearch函数进行无约束优化问题的求解，于fminunc函数相比，fminsearch函数可以用来求解目标函数不可导的问题，包括不连续，在最优解附件出现奇异值等问题，只能给出局部最优解，同样地，fminsearch函数只能求解实数最优化问题。fminsearch函数地调用格式如下：
x = fminsearch(fun,x0)
x = fminsearch(fun,x0,options)
[x,fval] = fminsearch(...)
[x,fval,exitflag] = fminsearch(...)
[x,fval,exitflag,output] = fminsearch(...)
在fminsearch函数中，输出标志exitflag以及对应地含义描述如表11.5所示。
表11.5 fminsearch函数输出标志及含义描述
| exitflag标志 | 含义描述 |
|---|---|
| 1 | 目标函数收敛于最优解 |
| 0 | 目标函数最大计算次数超过MaxFunEvals属性值或者最大迭代次数MaxIter |
| -1 | 算法由于输出函数而终止 |
对于例11.3中给出的函数，用fminsearch函数同样进行无约束优化求解。
%建立目标函数的M文件
function feval=myfun(x)
feval = 2*x(1)^2+4*x(1)*x(2)^2-5*x(1)*x(2)+x(2)^2;
%在Matlab命令行窗口中输入
x0=[0;0];
[x,fval,exitflag] = fminsearch('myfun',x0)
输出结果如下：
x =
0.3138
0.3478
fval =
-0.0760
exitflag =
1
对于目标函数的建立除了通过建立M文件函数外，还可以通过以下三中方法来进行定义：
方法一：定义函数字符串
fun='2*x(1)^2+4*x(1)*x(2)^2-5*x(1)*x(2)+x(2)^2';
x0=[0;0];
[x,fval,exitflag] = fminsearch(fun,x0)
方法二：定义inline函数
fun=inline('2*x(1)^2+4*x(1)*x(2)^2-5*x(1)*x(2)+x(2)^2');
x0=[0 ;0];
[x,fval,exitflag] = fminsearch(fun,x0)
方法三：使用函数柄@来进行函数定义
fun=@(x)2*x(1)^2+4*x(1)*x(2)^2-5*x(1)*x(2)+x(2)^2;
x0=[0;0];
[x,fval,exitflag] = fminsearch(fun,x0)
如果在目标函数中出现外部输入变量的情况下，可以通过以下两种方法对目标函数进行定义：
方法一：
%定义含有参数的M文件
function feval=myfun(x,a)
feval = 2*x(1)^2+a*x(1)*x(2)^2-5*x(1)*x(2)+x(2)^2;
在命令窗口中输入：
x0=[0;0];
a=4;
[x,fval,exitflag] = fminsearch(@(x)myfun(x,a),x0)
方法二：
a=4;
fun=@(x)2*x(1)^2+a*x(1)*x(2)^2-5*x(1)*x(2)+x(2)^2;
x0=[0;0];
[x,fval,exitflag] = fminsearch(fun,x0)
作者：德特数据
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