2019-04-15

关于FFT快速傅氏变换的理解

FFT（Fast Fourier

Transformation）是离散傅氏变换（DFT）的快速算法。即为快速傅氏变换。

傅里叶变换大致有四种类型：

（1）连续傅里叶变换（FT）

（2）连续傅里叶级数（FS）

（3）离散时间傅里叶变换（DTFT）

（4）离散傅里叶级数（DFS）

这里主要讲解离散时间傅里叶变换中的一种快速变换算法FFT，适用于计算机，微处理器等数字设备进行运算分析。

提到傅里叶变换，畏难心理可能让大多数人都觉得很难，要么在门外不敢踏进来看看，要么就是进来后深陷傅氏复杂枯燥无味的理论而无法自拔，最后过段时间什么也不记得了。这是由于大家没有真正将傅氏变换应用起来，一直处于理论分析层次，不免让人觉得傅氏很高冷。其实真正的傅氏是很接地气的，很有用，应用范围非常广泛。这里主要结合Matlab仿真通过例子详细分析FFT的使用。

信号时域和频域不同视角图

FFT是将离散的时间域信号变换到频域内进行分析。主要应用于对信号的提取和分析，去噪。如图所示：用一首古诗形容FFT存在的意义最贴切了：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。有时候我们在时域中对一个有用的信号提取我们需要的有效成分，剔除噪声是很困难的，信号和噪声杂糅在一起，根本无法区分开，如果我们在频域中分析信号和噪声就容易多了，信号的幅值一般比噪声幅值大很多，噪声幅值较小，在频域中，噪声无处遁形，根据频域幅值纵坐标可以发现我们需要的信号，再通过频率横坐标就可以知道有用信号的频率范围了，整个去噪过程就是这么简单。

FFT中关键的参数：采样频率：fs;  //根据奈奎斯特采样定理(又称香农采样定理)：fs≥2fmax

采样点数：N; //N个点（0:N-1）,频域中横坐标有效数据范围(0:N-1)

采样频率分辨率：fs_div=fs/N; //频域中，横坐标的分辨率（最小刻度）

采样周期(采样频率分辨率的倒数，也是采样频率fs倒数与采样点数N的乘积)：Ts=1/fs_div=N/fs;  //一个周期采样N个点

由上面公式可知采样频率分辨率fs_div和采样周期Ts有关（也就是和采样频率fs，采样点数N共同决定的），采样周期Ts越长，采样频率分辨率fs_div值越小，分辨率就越高。（1）当采样频率fs保持不变时，增大采样点数N，采样频率分辨率fs_div值变小，分辨率就变高。

（2）当采样点数N保持不变时，减小采样频率fs，采样频率分辨率fs_div值变小，分辨率就变高。（前提要保证采样定理，否则减小采样频率也就失去了意义，采集的数据已经失真，失去了应有的价值了）

举例介绍FFT的使用：

例程1：clf;

x=[2,5,1,9,10,2];

y=fft(x);

y=

  29.0000 + 0.0000i  -9.0000 + 5.1962i   2.0000 -10.3923i  -3.0000 + 0.0000i   2.0000 +10.3923i  -9.0000 - 5.1962i

对矩阵x进行FFT变换，得到的八个分量，第一个为直流分量29，其余的分量按照实轴对称分布。

例程2：y1=8*sin(2*pi*15*t)+16*sin(2*pi*30*t)。采样频率fs=128Hz，分别绘制N=128、1024点幅频图。fs>2*fmax(即30)，满足采样定理。

clf;

fs=128;N=128;   %采样频率和数据点数

n=0:N-1;t=n/fs;   %时间序列

y1=8*sin(2*pi*15*t)+16*sin(2*pi*30*t); %信号

y=fft(y1,N);    %对信号进行快速Fourier变换

mag=abs(y);     %求得Fourier变换后的振幅

f=n*fs/N;   %频率序列

subplot(2,2,1),plot(f,mag);   %绘出随频率变化的振幅

xlabel('频率/Hz');

ylabel('振幅');title('fs=128  N=128');grid on;

subplot(2,2,2),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)); %绘出Nyquist频率之前随频率变化的振幅

xlabel('频率/Hz');

ylabel('振幅');title('fs=128  N=128');grid on;

%对信号采样数据为1024点的处理

fs=128;N=1024;n=0:N-1;t=n/fs;

y1=8*sin(2*pi*15*t)+16*sin(2*pi*30*t); %信号

y=fft(y1,N);   %对信号进行快速Fourier变换

mag=abs(y);   %求取Fourier变换的振幅

f=n*fs/N;

subplot(2,2,3),plot(f,mag); %绘出随频率变化的振幅

xlabel('频率/Hz');

ylabel('振幅');title('fs=128  N=1024');grid on;

subplot(2,2,4)

plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)); %绘出Nyquist频率之前随频率变化的振幅

xlabel('频率/Hz');

ylabel('振幅');title('fs=128  N=1024');grid on;

%得到的频域图，信号的幅值变换为实际大小：需乘以2除以N（采样点数）%得到的频域图，信号的幅值变换为实际大小：需乘以2除以N（采样点数）

整个频谱图是以Nyquist频率（fs/2）为对称轴的

原始信号时域图  经快速傅里叶FFT变换频域图 

由上图可以看出信号中的两种频率信号：15HZ，30HZ。直接在时域中看原始信号是没有办法得到有用信号的。只有换个视角，从频域看才能得到我们想要的信号量。

幅值计算：（1）fs=128，N=128，频率为15HZ的信号幅值A=512*（2/N）=8，由信号组成y1=8*sin(2*pi*15*t)+16*sin(2*pi*30*t)可以看出15HZ信号的幅值为8。（2）fs=128，N=128，频率为30HZ的信号幅值A=1024*（2/N）=16，符合实际结果。（3）fs=128，N=1024，频率为15HZ的信号幅值A=4096*（2/N）=8，符合实际结果。（4）fs=128，N=1024，频率为30HZ的信号幅值A=8192*（2/N）=16，符合实际结果。

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