简单理解海明校验码

二进制数据经过传送、存取等环节，会发生误码(1变成0或0变成1)，这就有如何发现及纠正误码的问题。所有解决此类问题的方法就是在原始数据(数码位)基础上增加几位校验位。我们常使用的检验码有三种. 分别是奇偶校验码、海明校验码和循环冗余校验码(CRC)。

海明校验码是由RichardHamming于1950年提出、目前还被广泛采用的一种很有效的校验方法。它的实现原理，是在k个数据位之外加上r个校验位，从而形成一个k+r位的新的码字，使新的码字的码距比较均匀地拉大。把数据的每一个二进制位分配在几个不同的偶校验位的组合中，当某一位出错后，就会引起相关的几个校验位的值发生变化，这不但可以发现出错，还能指出是哪一位出错，为进一步自动纠错提供了依据。但是因为这种海明校验的方法只能检测和纠正一位出错的情况。所以如果有多个错误，就不能查出了。

什么是码距？
两个码组对应位上数字的不同位的个数称为码组的距离，简称码距，又称海明（Hamming）距离。例如00110和00100码距为1，12345和13344码距为2，Caus和Daun码距为2。

海明校验码公式（假设为k个数据位设置r个校验位）

2^r-1 ≥ k + r 

公式怎么得出来的呢？
假设有r个校验位，一个位子有0或1两种情况，r个位子就有2^{r种排列情况，能表示2}r种状态。其中一个状态用来表示正确（没有错误发生）的这种情况。其余的2^{r-1种状态来表示错误发生在哪一位。总共有k+r位，所以2}r-1一定要>=总位子k+r。
按照该不等可以得出k与r的对应关系

k值	r值
1	2
2～4	3
5～11	4
12～26	5
27～57	6
58～120	7
...	...

注意：海明校验码是放在2的幂次位上的，即“1,2,4,8,16,32······”

实战求1011的海明码
第一步：求r的值（即校验位数）
直接根据公式代入得：
2^r-1 ≥ 4 + r
2^r-r ≥ 5
得到r最小为3
所以海明码的位数是4+3=7位
第二步：校验位和信息位对号入座
注意： 信息位的位置分配是从高位到低位依次存放
注意： 海明校验码是放在2的幂次位上的

位数|1|2|3|4|5|6|7
:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:
信息位|||1||1|0|1
校验位|r1|r2||r3|||
第三步：确定校验位的值
校验原则：被校验的海明位的下标等于所有参与校验该为的校验位的下标之和

海明码	海明码下标	校验位组	信息位
1	1	r1
2	2	r2
3	3=2+1	r1,r2	1
4	4	r3
5	5=4+1	r3,r1	1
6	6=4+2	r3,r2	0
7	7=4+3	r3,r2,r1	1

然后将校验码校验的信息位的位置记录下来：

• r1: 3, 5, 7
• r2: 3, 6, 7
• r3: 5, 6, 7

然后做对应信息位的异或运算(异或的运算法则为：0⊕0=0，1⊕0=1，0⊕1=1，1⊕1=0（同为0，异为1）)

• r1: 1 xor 1 xor 1 = 1
• r2: 1 xor 0 xor 1 = 0
• r3: 1 xor 0 xor 1 = 0

代入表格得到

位数	1	2	3	4	5	6	7
信息位			1		1	0	1
校验位	1	0		0

注意：按照从低位到高位的排列顺序得到海明码：1010101