数据结构与算法(九)：二叉树/线索化二叉树

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本章节研究内容：
1.了解树
2.了解二叉树
3.二叉树顺序存储的实现与遍历（前序/后续/中序/层序 ）
4.二叉树链式存储下的实现与遍历
5.二叉树链式存储线索化
6.线索化二叉树的实现(链式存储)

一、了解树

1. 树的定义

树（Tree）是n(n≥0)个结点的有限集。在n=0时称为空树。在任意一棵非空树种：①有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点；②当n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1,T2，…，Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树(SubTree)。 如图所示:

对于树的定义还需要注意两点：

1. n>0时根节点是唯一的，不可能存在多根结点，别和现实中的大树混在一起，现实中的树有很多根须，那是真实的树，数据结构中的树是只能有一个根节点。
2. m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。

像下图中的两个结构就不符合树的定义，因为它们都有相交的子树:

两种不符合树的定义

2. 节点

树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。
结点拥有的子树数称为**结点的度(Degree)。度为0的结点称为叶结点（Leaf）或终端结点；度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点之外，分支结点也称为内部结点。

• 节点的度是该节点拥有的子树个数；
• 树的度是树内各结点的度的最大值。

节点的度

• 结点间的关系

结点的子树的根称为该结点的孩子(Child)，相应地，该结点称为孩子的双亲（Parent）。同一个双亲的孩子之间互称兄弟(Sibling)。结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点，反之以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。在下图中，D、B、A都是H的祖先，B的子孙有D、G、H、I。

节点关系

• 树的高度/深度/层

二、了解二叉树

1.二叉树的定义

二叉树是n(n>=0)个结点的有限集，它或者是空集(n=0),或者由一个根结点及两颗互不相交的分别称为 这个根的左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树特点：

• a. 每个结点最多有两个孩子；（二叉树中不存在度大于2的结点）
• b. 子树有左右之分，其次序不能颠倒；
• c. 二叉树可以是空集合，根可以有空的左子树和右子树。

二叉树

特别注意：二叉树结点的子树要区分左子树和右子树，即使只有一颗子树也要进行区分，要说明它是左子树，还是右子树。如下图：

这两个树是有区分的

2.特殊二叉树 - 斜树

斜树：所有的节点都倾斜一边。

左斜树 与 右斜树

3.特殊二叉树 - 满二叉树

满二叉树：根节点与所有分支节点 都有 左子树和右子树 并且所有的叶子节点都在同一层。

4.特殊二叉树 - 完全二叉树

完全二叉树：一棵深度为k的有n个结点的二叉树，对树中的结点按从上至下、从左到右的顺序进行编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

满二叉树一定是完全二叉树。

完全二叉树 - 例图

下面几个是 非完全二叉树 如下图：

非完全二叉树 - 5节点缺了左子树 非完全二叉树 - 3节点缺了左子树和右子树 非完全二叉树 - 5节点缺了左子树和右子树

5.二叉树的性质：

1. 性质1: 在二叉树的第i层上最多有2i-1个结点 ；
2. 性质2: 深度为K的二叉树最多有2k -1 个结点(K>=1) ；
3. 性质3: 对于任何一颗二叉树T,如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2,则n0 = n2 + 1;
4. 性质4: 具有n个结点的完全二叉树深度为(log2(n))+1；
5. 性质5:对具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下和从左至右的顺序对二叉树的所有结点从1开始编号，则对于任意的序号为i的结点有:
   A.如果i>1，那么序号为i的结点的双亲结点序号为i/2；
   B.如果i=1，那么序号为i的结点为根节点，无双亲结点；
   C.如果2i<=n，那么序号为i的结点的左孩子结点序号为2i；
   D.如果2i>n，那么序号为i的结点无左孩子；
   E.如果2i+1<=n，那么序号为i的结点右孩子序号为2i+1；
   F.如果2i+1>n，那么序号为i的结点无右孩子。

三、二叉树顺序存储的实现与遍历

我们有一个如下图的完全二叉树，那我们顺序存储应该如何设计呢？

由于二叉树的特性二叉树的节点只有两个次序不颠倒的子树，于是可以使用数组去存储。

若是一个非完全二叉树呢？

由于二叉树的特性节点是可以拥有 空的左子树和右子树；
所以只需要在数组中的内容存null就可以表示 空的左子树和右子树。

注意：
a. 当非完全二叉树使用顺序存储的时候，会造成可能很多的空间浪费。
b. 二叉树使用顺序存储最理想(优势)的状况：它是一个完全二叉树。

1.二叉树的实现

6.1 visit
6.2 构造空⼆叉树T,因为T是固定数组,不会改变.
6.3 按层序次序输⼊⼆叉树中的结点值(字符型或整型),构造顺序存储的⼆叉树T
6.4 判断⼆叉树是否为空
6.5 获取⼆叉树的深度
6.6 返回处于位置e(层,本层序号)的结点值
6.7 获取⼆叉树跟结点的值
6.8 给处于位置e的结点赋值
6.9 获取e的双亲;
6.10 获取某个结点的左孩⼦;
6.11 获取某个结点的右孩⼦;
6.12 获取结点的左兄弟
6.13 获取结点的右兄弟

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"

#include "math.h"
#include "time.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */
#define MAX_TREE_SIZE 100 /* 二叉树的最大结点数 */

typedef int Status;        /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef int CElemType;      /* 树结点的数据类型，目前暂定为整型 */
typedef CElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; /* 0号单元存储根结点  */
CElemType Nil = 0;   /*设整型以0为空 或者以 INT_MAX(65535)*/

typedef struct {
    int level; //结点层
    int order; //本层的序号(按照满二叉树给定序号规则)
}Position;

#pragma mark -- 二叉树的基本操作
//6.1 visit
Status visit(CElemType c){
    printf("%d ",c);
    return OK;
}

//6.2 构造空二叉树T,因为T是固定数组,不会改变.
Status InitBiTree(SqBiTree T){
    
    for (int i = 0; i < MAX_TREE_SIZE; i++) {
        //将二叉树初始化值置空
        T[i] = Nil;
    }
    
    return OK;
}

//6.3 按层序次序输入二叉树中的结点值(字符型或整型),构造顺序存储的二叉树T
Status CreateBiTree(SqBiTree T){
    int i = 0;
    
    //printf("按层序输入结点的值(整型),0表示空结点, 输入999结束.结点数<=%d\n",MAX_TREE_SIZE);
    /*
     1      -->1
     2     3   -->2
     4  5  6   7 -->3
     8  9 10       -->4
     
     1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nil Nil Nil
     */
    
    while (i < 10) { // 10只是一个假设值，10个节点
        T[i] = i+1; // 给节点值赋值
        printf("%d ",T[i]);
        
        //结点不为空,且无双亲结点
        if (i != 0 && T[(i+1)/2-1] == Nil && T[i] != Nil) {
            printf("出现无双亲的非根结点%d\n",T[i]);
            exit(ERROR);
        }
        
        i++;
        
    }
    
    //将空赋值给T的后面的结点
    while (i < MAX_TREE_SIZE) {
        T[i] = Nil;
        i++;
    }
    
    return OK;
}

//技巧:
//如果大家想要2个函数的结果一样,但是目的不同;
//在顺序存储结构中, 两个函数完全一样的结果
#define ClearBiTree InitBiTree

/*6.4 判断二叉树是否为空
 初始条件: 二叉树已存在
 操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则返回FALSE;
 */
Status BiTreeEmpty(SqBiTree T){
    //根结点为空,则二叉树为空
    return T[0] == Nil;
}

/*6.5 获取二叉树的深度
 初始条件: 二叉树已存在
 操作结果: 返回二叉树T深度;
 */
int BiTreeDepth(SqBiTree T){
    
    int i; // 记录最后一个节点下标
    int j = -1; // 记录层数
    
    //找到最后一个结点
    //MAX_TREE_SIZE -> 100 -> 10 目的找到最后一个结点10的位置
    for (i = MAX_TREE_SIZE-1 ; i>=0; i--) {
        if (T[i] != Nil)
            break;
    }
    
    do {
        j++;
    } while ( powl(2, j) <= i); //计算2的次幂
    
    return j;
}

/*6.6 返回处于位置e(层,本层序号)的结点值
 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点(的位置)
 操作结构: 返回处于位置e(层,本层序号)的结点值
 */
CElemType Value(SqBiTree T,Position e){
    
    /*
     Position.level -> 结点层.表示第几层;
     Position.order -> 本层的序号(按照满二叉树给定序号规则)
     */
    
    //pow(2,e.level-1) 找到层序
    printf("%d\n",(int)pow(2,e.level-1)); // level从1开始数的，但根节点是第0层开始数
    
    //e.order
    printf("%d\n",e.order);
    
    //4+2-2;
    return T[(int)pow(2, e.level-1)+e.order-2];
    
}


/*6.7 获取二叉树跟结点的值
 初始条件: 二叉树T存在
 操作结果: 当T不空,用e返回T的根, 返回OK; 否则返回ERROR
 */
Status Root(SqBiTree T,CElemType *e){
    if (BiTreeEmpty(T)) {
        return ERROR;
    }
    
    *e = T[0];
    return OK;
}

/*
 6.8 给处于位置e的结点赋值
 初始条件: 二叉树存在,e是T中某个结点的位置
 操作结果: 给处于位置e的结点赋值Value;
 */
Status Assign(SqBiTree T,Position e,CElemType value){
    
    //找到当前e在数组中的具体位置索引
    int i = (int)powl(2, e.level-1)+e.order -2;
    
    //叶子结点的双亲为空
    if (value != Nil &&  T[(i+1)/2-1] == Nil) {
        return ERROR;
    }
    
    //给双亲赋空值但是有叶子结点
    if (value == Nil && (T[i*2+1] != Nil || T[i*2+2] != Nil)) {
        return  ERROR;
    }
    
    T[i] = value;
    return OK;
}

/*
 6.9 获取e的双亲;
 初始条件: 二叉树存在,e是T中的某一个结点
 操作结果: 若e是T的非根结点, 则返回它的双亲,否则返回"空"
 */
CElemType Parent(SqBiTree T, CElemType e){
    
    //空树
    if (T[0] == Nil) {
        return Nil;
    }
    
    for (int i = 1 ; i < MAX_TREE_SIZE; i++) {
        //找到e
        if (T[i] == e) {
            return T[(i+1)/2 - 1];
        }
    }
    
    //没有找到
    return Nil;
    
}

/*
 6.10 获取某个结点的左孩子;
 初始条件:二叉树T存在,e是某个结点
 操作结果:返回e的左孩子,若e无左孩子,则返回"空"
 */
CElemType LeftChild(SqBiTree T,CElemType e){
    
    //空树
    if (T[0] == Nil) {
        return Nil;
    }
    for (int i = 0 ; i < MAX_TREE_SIZE-1; i++) {
        //找到e
        if (T[i] == e) {
            return T[i*2+1];
        }
    }
    
    //没有找到
    return Nil;
    
}

/*
 6.11 获取某个结点的右孩子;
 初始条件:二叉树T存在,e是某个结点
 操作结果:返回e的左孩子,若e无左孩子,则返回"空"
 */
CElemType RightChild(SqBiTree T,CElemType e){
    
    //空树
    if (T[0] == Nil) {
        return Nil;
    }
    for (int i = 0 ; i < MAX_TREE_SIZE-1; i++) {
        //找到e
        if (T[i] == e) {
            return T[i*2+2];
        }
    }
    
    //没有找到
    return Nil;
    
}

/*
 6.12 获取结点的左兄弟
 初始条件:  二叉树T存在,e是T中某个结点
 操作结果: 返回e的左兄弟。若e是T的左孩子或无左兄弟,则返回＂空＂
 */
CElemType LeftSibling(SqBiTree T,CElemType e)
{
    /* 空树 */
    if(T[0]==Nil)
        return Nil;
    
    for(int i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
    /* 找到e且其序号为偶数(是右孩子) */
        if(T[i]==e&&i%2==0)
            return T[i-1];
    
    return Nil; /* 没找到e */
}

/* 6.13 获取结点的右兄弟
 初始条件: 二叉树T存在,e是T中某个结点
 操作结果: 返回e的右兄弟。若e是T的右孩子或无右兄弟,则返回＂空＂
 */
CElemType RightSibling(SqBiTree T,CElemType e)
{
    /* 空树 */
    if(T[0]==Nil)
        return Nil;
    
    for(int i=1;i<=MAX_TREE_SIZE-1;i++)
    /* 找到e且其序号为奇数(是左孩子) */
        if(T[i]==e&&i%2==1)
            return T[i+1];
    
    return Nil; /* 没找到e */
}

2.层序遍历(上到下且左到右)

/*
 6.14 层序遍历二叉树
 */
void LevelOrderTraverse(SqBiTree T){
    
    int i = MAX_TREE_SIZE-1;
    
    //找到最后一个非空结点的序号
    while (T[i] == Nil) i--;
    
    //从根结点起,按层序遍历二叉树
    for (int j = 0; j <= i; j++)
        //只遍历非空结点
        if (T[j] != Nil)
            visit(T[j]);
    
    printf("\n");
}

3.前序遍历(根左右)

/*
 6.15 前序遍历二叉树
 */
Status PreOrderTraverse(SqBiTree T){
    //树不为空
    if (!BiTreeEmpty(T)) {
        PreTraverse(T, 0);
    }
    printf("\n");
    return  OK;
}

void PreTraverse(SqBiTree T,int e){
    
    //打印结点数据
    visit(T[e]);
    
    //先序遍历左子树
    if (T[2 * e + 1] != Nil) {
        PreTraverse(T, 2*e+1);
    }
    //最后先序遍历右子树
    if (T[2 * e + 2] != Nil) {
        PreTraverse(T, 2*e+2);
    }
}

4.中序遍历(左根右)

/*
 6.16 中序遍历
 */
Status InOrderTraverse(SqBiTree T){
    /* 树不空 */
    if (!BiTreeEmpty(T)) {
        InTraverse(T, 0);
    }
    printf("\n");
    return OK;
}

void InTraverse(SqBiTree T, int e){
    /* 左子树不空 */
    if (T[2*e+1] != Nil)
        InTraverse(T, 2*e+1);
    
    visit(T[e]);
    
    /* 右子树不空 */
    if (T[2*e+2] != Nil)
        InTraverse(T, 2*e+2);
}

5.后序遍历(左右根)

/*
 6.17 后序遍历
 */
Status PostOrderTraverse(SqBiTree T)
{
    if(!BiTreeEmpty(T)) /* 树不空 */
        PostTraverse(T,0);
    printf("\n");
    return OK;
}

void PostTraverse(SqBiTree T,int e)
{   /* 左子树不空 */
    if(T[2*e+1]!=Nil)
        PostTraverse(T,2*e+1);
    /* 右子树不空 */
    if(T[2*e+2]!=Nil)
        PostTraverse(T,2*e+2);
    
    visit(T[e]);
}

二叉树顺序存储由于空间的浪费以及使用的局限性，导致应用得较少。

四、二叉树链式存储的实现与遍历

二叉树链式存储就不会产生像顺序存储一样的情况，但是它也会有叶子节点的指针域的资源浪费的情况。
本章节暂且不谈指针域资源浪费(是下一篇章节线索化二叉树的内容)。

当我们访问到叶子节点的时候，我们并不知道它是叶子节点，那就需要去拓展二叉树，通过左右孩子为空来断定：

拓展二叉树

下面代码就是我们二叉树链式存储的结构：

typedef char CElemType; // 这里二叉树以字符串作为存储类型
CElemType Nil=' '; /* 字符型以空格符为空 */
typedef struct BiTNode  /* 结点结构 */
{
    CElemType data;        /* 结点数据 */
    struct BiTNode *lchild,*rchild; /* 左/右孩子指针 */
}BiTNode,*BiTree;

有点类似于单链表。

1.二叉树链式存储的实现

#include "string.h"
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"

#include "math.h"
#include "time.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

/* 存储空间初始分配量 */
#define MAXSIZE 100
/* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
typedef int Status;

#pragma mark--二叉树构造
int indexs = 1;
typedef char String[24]; /*  0号单元存放串的长度 */
String str;
Status StrAssign(String T,char *chars) // 将chars里的字符存入到T
{
    int i;
    if(strlen(chars)>MAXSIZE)
        return ERROR;
    else
    {
        T[0]=strlen(chars); // 0索引存字符串长度
        for(i=1;i<=T[0];i++)
            T[i]=*(chars+i-1);
        return OK;
    }
}

#pragma mark--二叉树基本操作

typedef char CElemType; // 这里二叉树以字符串作为存储类型
CElemType Nil=' '; /* 字符型以空格符为空 */
typedef struct BiTNode  /* 结点结构 */
{
    CElemType data;        /* 结点数据 */
    struct BiTNode *lchild,*rchild; /* 左/右孩子指针 */
}BiTNode,*BiTree;

/*7.1 打印数据*/
Status visit(CElemType e)
{
    printf("%c ",e);
    return OK;
}

/* 7.2 构造空二叉树T */
Status InitBiTree(BiTree *T)
{
    *T=NULL;
    return OK;
}

/* 7.3 销毁二叉树
 初始条件: 二叉树T存在。
 操作结果: 销毁二叉树T
 */
void DestroyBiTree(BiTree *T)
{
    if(*T)
    {
        /* 有左孩子 */
        if((*T)->lchild)
            DestroyBiTree(&(*T)->lchild); /* 销毁左孩子子树 */
        
        /* 有右孩子 */
        if((*T)->rchild)
            DestroyBiTree(&(*T)->rchild); /* 销毁右孩子子树 */
        
        free(*T); /* 释放根结点 */
        
        *T=NULL; /* 空指针赋0 */
    }
}
#define ClearBiTree DestroyBiTree

/*7.4 创建二叉树
 按前序输入二叉树中的结点值(字符),#表示空树;
 */
void CreateBiTree(BiTree *T){
    
    CElemType ch;
    
    //获取字符
    ch = str[indexs++];
    
    //判断当前字符是否为'#'
    if (ch == '#') {
        *T = NULL;
    }else
    {
        //创建新的结点
        *T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        //是否创建成功
        if (!*T) {
            exit(OVERFLOW);
        }
        
        /* 生成根结点 */
        (*T)->data = ch;
        /* 构造左子树 */
        CreateBiTree(&(*T)->lchild);
        /* 构造右子树 */
        CreateBiTree(&(*T)->rchild);
    }
    
}


/*
 7.5 二叉树T是否为空;
 初始条件: 二叉树T存在
 操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则FALSE
 */
Status BiTreeEmpty(BiTree T)
{
    if(T)
        return FALSE;
    else
        return TRUE;
}

/*
 7.6 二叉树T的深度
 初始条件: 二叉树T存在
 操作结果: 返回T的深度
 */
int BiTreeDepth(BiTree T){
    
    int i,j;
    if(!T)
        return 0;
    
    //计算左孩子的深度
    if(T->lchild)
        i=BiTreeDepth(T->lchild);
    else
        i=0;
    
    //计算右孩子的深度
    if(T->rchild)
        j=BiTreeDepth(T->rchild);
    else
        j=0;
    
    //比较i和j
    return i>j?i+1:j+1;
}

/*
 7.7 二叉树T的根
 初始条件: 二叉树T存在
 操作结果: 返回T的根
 */
CElemType Root(BiTree T){
    if (BiTreeEmpty(T))
        return Nil;
    
    return T->data;
}

/*
 7.8 返回p所指向的结点值;
 初始条件: 二叉树T存在，p指向T中某个结点
 操作结果: 返回p所指结点的值
 */
CElemType Value(BiTree p){
    return p->data;
}

/*
 7.8 给p所指结点赋值为value;
 初始条件: 二叉树T存在，p指向T中某个结点
 操作结果: 给p所指结点赋值为value
 */
void Assign(BiTree p,CElemType value)
{
    p->data=value;
}

2.前序遍历(根左右)

/*
 7.8  前序递归遍历T
 初始条件:二叉树T存在;
 操作结果: 前序递归遍历T
 */
void PreOrderTraverse(BiTree T) {
    if(T==NULL)
        return;
    printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
    PreOrderTraverse(T->lchild); /* 再先序遍历左子树 */
    PreOrderTraverse(T->rchild); /* 最后先序遍历右子树 */
}

3.中序遍历(左根右)

/*
 7.9  中序递归遍历T
 初始条件:二叉树T存在;
 操作结果: 中序递归遍历T
 */
void InOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T==NULL)
        return ;
    InOrderTraverse(T->lchild); /* 中序遍历左子树 */
    printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
    InOrderTraverse(T->rchild); /* 最后中序遍历右子树 */
}

3.后序遍历(左右根)

/*
 7.10  后序递归遍历T
 初始条件:二叉树T存在;
 操作结果: 中序递归遍历T
 */
void PostOrderTraverse(BiTree T) {
    if(T==NULL)
        return;
    PostOrderTraverse(T->lchild); /* 先后序遍历左子树  */
    PostOrderTraverse(T->rchild); /* 再后序遍历右子树  */
    printf("%c",T->data);/* 显示结点数据，可以更改为其它对结点操作 */
}

测试代码：

int main(int argc, const char * argv[]) {
    // insert code here...
    printf("二叉树链式存储结构实现!\n");
    
    int i;
    BiTree T;
    CElemType e1;
    
    InitBiTree(&T);
    
    StrAssign(str,"ABDH#K###E##CFI###G#J##");
    
    CreateBiTree(&T);
    printf("二叉树是否为空%d(1:是 0:否),树的深度=%d\n",BiTreeEmpty(T),BiTreeDepth(T));
    
    e1=Root(T);
    printf("二叉树的根为: %c\n",e1);
    
    printf("\n前序遍历二叉树:");
    PreOrderTraverse(T);
    
    printf("\n中序遍历二叉树:");
    InOrderTraverse(T);
    
    printf("\n后序遍历二叉树:");
    PostOrderTraverse(T);
    
    printf("\n");
    
    return 0;
}

五.二叉树链式存储线索化

1.背景

假设有一个节点为N的二叉树采用链式存储的时候，它的每一个节点都会有两个指针域(左右孩子节点)，那这个二叉树会有N-1条有效路径。
倘若这个二叉树非常庞大，那它就会出现指针域的浪费(没有指向明确的空间)，如下图：

那么我们是否可以利用这些没有用的指针域空间去做以其它的辅助作用呢？

在二叉树里边我们并不知道一个节点的前驱是谁后继是谁，我们只能通过遍历去访问；那么我们可以利用这些空余出来的空间来记录它的前驱后继。

线索化二叉树 - 中序

利用节点多余的空间来指定某种遍历次序(前序/中序/后序)的一个前驱后继，从而实现线索化二叉树。

不是什么节点都能去完成线索化的。只有当节点的左孩子节点或者有孩子节点指向null的时候，才能根据遍历次序去指定左孩子指向哪个前驱，右孩子指向哪个后继，做一些有限的线索化。

线索化规则：
a. 节点的左子树为null，利用左孩子指针指向它的前驱节点；
b. 节点的右子树为null，利用右孩子指针指向它的后继节点；
c. 所有前驱和后继必须按照某一种遍历逻辑(前序/中序/后序)。

2.逻辑(中序为例)

构建好二叉树之后，依旧是不知道那些叶子节点的左右孩子所需要去指向哪个节点的，需要经历一次遍历才知道。

线索化二叉树 - 中序

勾勒出左右孩子的去向之后，还并不知道这个指针域指向的到底是孩子节点还是前驱还是后继(虽然从图中能看出来，但在内存中是无法区分的呀)，那应该如何区分呢？

为了区分这个问题，使用线索化标记位：

六.线索化二叉树的实现(链式存储)

1.构建二叉树(中序)

#include "string.h"
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"

#include "math.h"
#include "time.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 100 /* 存储空间初始分配量 */

/* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码,如OK等 */
typedef int Status;
typedef char CElemType;
/* 字符型以空格符为空 */
CElemType Nil='#';

#pragma mark--二叉树构造
int indexs = 1;
typedef char String[24]; /*  0号单元存放串的长度 */
String str;

// 构建字符数组。保存到T里
Status StrAssign(String T,char *chars)
{
    int i;
    if(strlen(chars)>MAXSIZE)
        return ERROR;
    else
    {
        T[0]=strlen(chars);
        for(i=1;i<=T[0];i++)
            T[i]=*(chars+i-1);
        return OK;
    }
}

/* Link==0表示指向左右孩子指针, */
/* Thread==1表示指向前驱或后继的线索 */
typedef enum {Link,Thread} PointerTag;

/* 线索二叉树存储结点结构*/
typedef struct BiThrNode{
    
    //数据
    CElemType data;
    
    //左右孩子指针
    struct BiThrNode *lchild,*rchild;
    
    //左右标记
    PointerTag LTag;
    PointerTag RTag;
    
}BiThrNode,*BiThrTree;

/*
 8.1 打印
 */
Status visit(CElemType e)
{
    printf("%c ",e);
    return OK;
}

/*
 8.3 构造二叉树
 按照前序输入线索二叉树结点的值,构造二叉树T
 */

Status CreateBiThrTree(BiThrTree *T){
    
    CElemType h;
    //scanf("%c",&h);
    //获取字符
    h = str[indexs++];
    
    if (h == Nil) {
        *T = NULL;
    }else{
        *T = (BiThrTree)malloc(sizeof(BiThrNode));
        if (!*T) {
            exit(OVERFLOW);
        }
        //生成根结点(前序)
        (*T)->data = h;
        
        //递归构造左子树
        CreateBiThrTree(&(*T)->lchild);
        //存在左孩子->将标记LTag设置为Link
        if ((*T)->lchild) (*T)->LTag = Link;
        
        //递归构造右子树
        CreateBiThrTree(&(*T)->rchild);
        //存在右孩子->将标记RTag设置为Link
        if ((*T)->rchild) (*T)->RTag = Link;
    }
    
    return OK;
}

2.线索化二叉树(中序)

初步线索化的代码：

/*
 8.3 中序遍历二叉树T, 将其中序线索化,Thrt指向头结点
 */

BiThrTree pre; /* 全局变量,始终指向刚刚访问过的结点(上一个节点 ) */
/* 中序遍历进行中序线索化*/
void InThreading(BiThrTree p) {
    /*
     InThreading(p->lchild);
     .....
     InThreading(p->rchild);
     */
    if (p) {
        //递归左子树线索化
        InThreading(p->lchild);
        //无左孩子
        if (!p->lchild) {
            //前驱线索
            p->LTag = Thread;
            //左孩子指针指向前驱
            p->lchild  = pre;
        } else {
            p->LTag = Link;
        }
        
        //前驱没有右孩子
        if (!pre->rchild) {
            //后继线索
            pre->RTag = Thread;
            //前驱右孩子指针指向后继(当前结点p)
            pre->rchild = p;
        } else {
            pre->RTag = Link;
        }
        
        //保持pre指向p的前驱
        pre = p;
        //递归右子树线索化
        InThreading(p->rchild);
    }
}

做完以上线索化操作之后，就可以得到下面关系图：

可以发现我们打印的第一个节点H的左子树指针它指向的是null，因为它H节点没有前驱，最后一个节点G的右子树指针也指向null，因为G节点没有后继。

引用一个类似于双向链表的头结点，以达到方便线索化二叉树的遍历，如下图：

中序遍历 - 引入头节点

• ① 将头结点的lchild 域指针指向⼆叉树的根结点；
• ② 将头结点的rchild 域指针指向中⼼遍历时最后⼀个结点；
• ③④ 使⼆叉树中序序列中的 第⼀个结点中的lchild 域指针 和 最后⼀个结点的rchild域指针 均指向头结点；

这样做的好处,你可以从第⼀个结点起顺后继进⾏遍历,也可以从最后⼀个结点起顺前驱进⾏遍历。

优化后线索化的代码：
(实际上就是再包一层)

/* 中序遍历二叉树T,并将其中序线索化,Thrt指向头结点 */
Status InOrderThreading(BiThrTree *Thrt , BiThrTree T){
    // 开辟头结点
    *Thrt=(BiThrTree)malloc(sizeof(BiThrNode));
    if (! *Thrt) { exit(OVERFLOW); }
    
    //建立头结点;
    (*Thrt)->LTag = Link;
    (*Thrt)->RTag = Thread;
    //右指针先指向自己，因为还不知道该指向谁
    (*Thrt)->rchild = (*Thrt);
    
    /* 若二叉树空,则左指针回指 */
    if (!T) {
        (*Thrt)->lchild=*Thrt;
    }else{
        // 头节点的lchild指向根节点
        (*Thrt)->lchild=T;
        pre=(*Thrt);
        
        //中序遍历进行中序线索化
        InThreading(T);
        
        //此时最后一个节点是pre
        //最后一个结点rchil 孩子
        pre->rchild = *Thrt;
        //最后一个结点线索化
        pre->RTag = Thread;
        (*Thrt)->rchild = pre;
    }
    return OK;
}

3.中序遍历线索化二叉树

可以利用线索化的信息来找到前驱后继

/*中序遍历二叉线索树T*/
Status InOrderTraverse_Thr(BiThrTree T){
    // 经过线索化之后，T不再是根节点了，而是头结点
    BiThrTree p;
    p=T->lchild; /* p指向根结点 */
    while(p!=T) { // 因为这是一个类似双向链表，出口一定是最后一个节点的rchild指向头节点
        /* 空树或遍历结束时,p==T */
        while(p->LTag==Link)
            p=p->lchild;
        if(!visit(p->data)) /* 访问其左子树为空的结点 */
            return ERROR;
        while(p->RTag==Thread&&p->rchild!=T) { // 有后继，并且后继不是头结点
            p=p->rchild;
            visit(p->data); /* 访问后继结点 */
        }
        p=p->rchild;
    }
    return OK;
}

测试结果：

int main(int argc, const char * argv[]) {
    // insert code here...
    printf("Hello, 线索化二叉树!\n");
    BiThrTree H,T;
    
    //StrAssign(str,"ABDH#K###E##CFI###G#J##");
    StrAssign(str,"ABDH##I##EJ###CF##G##");
    
    CreateBiThrTree(&T); /* 按前序产生二叉树 */
    InOrderThreading(&H,T); /* 中序遍历,并中序线索化二叉树 */
    InOrderTraverse_Thr(H);
    printf("\n\n");
    return 0;
}