现代控制理论入门2:反馈控制

作者: 飞多多 | 来源:发表于2020-07-02 18:54 被阅读0次

PART I

基于前文的分析我们知道，如果一个系统要收敛，那么系统的传递矩阵的所有特征值应当小于0 。但是，很多情况下，这个条件并不会满足。为了让一些不问题的系统能够稳定，我们引入了反馈控制。
反馈控制得基本思路就是将系统中的状态引入到控制量中去。假设开环系统的动态方程可以写作：
$\dot{x}=Ax+Bu \tag{1}$
假设系统状态x是n维的，控制输入u是m维的，则A是一个nXn的矩阵，B是一个nXm的控制矩阵。我们通过式子
$u=Kx \tag{2}$
将系统状态量引入到控制量中，其中K是我们反馈矩阵，是mXn维的。
整理两式子，得到
$\dot{x}=Ax+BKx = (A+BK)x \tag{3}$
这便是得到闭环反馈系统的动态方程。新闭环系统的过程矩阵由A编程了A+BK，其中K是我们可以选取的矩阵，我们正式通过调节K矩阵来调节系统的动态特性。

PART II

我们有一个系统，他的动态方程为：
$\left( \begin{matrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2\end{matrix}\right) + \left( \begin{matrix} 1\\1 \end{matrix}\right)u \tag{4}$
为了是系统收敛，我们令 $u=Kx$ ,这里K是一个2X1的矩阵，则，
$\left( \begin{matrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2\end{matrix}\right) + \left( \begin{matrix} 1\\1 \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} k_1 & k_2 \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} 1+k_1 & 2+k_2 \\ k_1 & 1+k_2 \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2\end{matrix}\right) \tag{5}$
这里我们记 $F= \left( \begin{matrix} 1+k_1 & 2+k_2 \\ k_1 & 1+ k_2 \end{matrix} \right)$ ，接下来计算F的特征值，令：
$\left| \begin{matrix} 1+k_1-\lambda & 2+k_2 \\ k_1 & 1+ k_2-\lambda \end{matrix} \right| =0$
即： $\lambda^2-(2+k_1+k_2)\lambda-k_1+k_2+1=0$
为了是系统稳定，我们选F的两个特征值 $\lambda_1 = \lambda_2 = -1$ ,由韦达定理可知：
$\Delta=(2+k_1+k_2)^2-4(-k_1+k_2+1)=0 \\ (2+k_1+k_2)/2 = -1$ ，解得：
$k_1= k_2 = -2$
带入方程(5),得到
$\left( \begin{matrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0\\ -2 & -1 \end{matrix}\right) \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2\end{matrix}\right)$