理解浮点数

先前对于浮点数的理解，只是停留在不能精确的表示一个数上，对于浮点数的位组成，以及二进制和十进制之间的转换并没过深入了解过。

因为 Swift 是一门类型安全的语言，不允许不同类型之间的数值进行运算，整数溢出的时候也无法编译通过。对于 C，如果对类型不敏感的话，可能就会引入一些「看不见」的 Bug。

下面来看一下浮点数的构成。

IEEE 浮点数的定义标准用 V = (-1)^s × M × 2^(E) 的形式来表示一个数。

• 符号（sign）s 决定这数是负数（s=1）还是正数（s=0），对于数值 0 的符号解释做特殊处理。
• 尾数（significand）M 是一个二进制小数，它的范围是 1~2-ε，或者 0_1-ε。1ε 代表小数位全为 1 ，非小数为 0 的二进制数。
• 阶码 （exponent）E 的作用是对浮点数加权，这个权重是 2 的 E 次幂（可能是负数）。

浮点数在计算机中的表示形式分为 符号、尾数、阶码 三部分，编码形式:

• 一个单独的符号位 s 直接编码。
• k 位的阶码字段 exp = e(k-1)...e(1)e(0) 编码为阶码 E。
• n 位小数字段 frac = f(n-1)...f(1)f(0) 编码为尾数 M。

单精度的浮点数的符号位、阶码位、尾数位字段分别为 1 位, 8 位和 23 位。双精度的浮点数分别为 1 位、11 位和 52 位。

顺序分别为：符号(sign)，阶码(exp)，尾数(frac).jpg

IEEE 定义的浮点数标准和计算机的位级表示方式相互转换，需要分三种情况讨论：

情况 1：规范化的值

当 exp 即不全为 0 也不全为 1 时，属于规范化的值。阶码的值 E = e - Bias，其中 e 是二进制阶码的无符号数，Bias 表示二进制阶码能表示的最大的有符号数。例如：某个单精度浮点数的阶码为 00000101 ，则它的 e = 5，Bias = 127。

小数字段 frac 被解释为描述小数值 f，其中 0 ≤ f < 1。尾数的定义为 M = 1 + f，默认以隐式的 1 开头。把所有的 frac 字段都用来表示小数部分，因为既然尾数的个位总是为 1，就直接省略，这样可以提高一位精度。例如某个单精度的浮点数的小数字段为 101010101010101010101（23位），那么 M = 1.101010101010101010101。

判断小数位是否包含隐式 1 开头，看阶码是否不全为 0 而不全为 1 即可。

情况 2： 非规范化的值

当阶码全为 0 时，所表示的数是非规范化形式。这种情况下，阶码值 E = 1 - Bias，而尾数的值 M = f，直接就是小数字段的值，不包含隐式的开头 1。例如某个单精度的浮点数的小数字段为 101010101010101010101（23位），那么 M = 0.101010101010101010101。

情况 3： 特殊值

在阶码全为 1 的时候，当小数位全为 0 时，得到的值表示无穷。当 s=0 时是 +∞，当 s=1 时是 -∞。如果我们把两个非常大的数相乘，或者除以 0 时，无穷能表示溢出的结果。

当小数域为非零时，结果表示为 NaN，即 “不是一个数（Not a Number）” 的缩写。一些运算的结果不能使无穷或实数，就会返回 NaN 的值，比如 ${\sqrt{-1}}$。

练习

如果希望加深印象，可自行尝试将某个浮点数在二进制与十进制之间转换。我写了一个将浮点数转换为二进制位表示的形式，点击查看。

思考：表达式 print(0.1 + 0.2 == 0.3) 的输出结果是？