描述性统计

描述性统计

数据分布的特征主要从三个方面进行测度和描述：一是分布的集中趋势，反应了各数据向中心值靠拢或聚集的程度。二是分布的离散程度：反应个数据远离中心值的趋势。三是分布的形状:反应数据分布的偏态和峰态。
1.1 集中趋势的度量
集中趋势（central tendency）是指某一组数据向某一中心点靠拢的程度，它反映了一组数据的中心点所在。低层次的数据的集中趋势测度值适用于高层次的数据，反之不可。

1.1.1 分类的数据：众数
众数（mode）是一组数据中最多出现的变量值。主要用于测度分类数据的集中趋势。也可以作为顺序数据以及数值型数据集中趋势的测度值。一般情况下：只有数据量大的情况下，众数才有意义。并且不受极端值的影响

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1.1.2顺序数据：中位数和分位数
一组数据中，可以找出某个位置上的数据。

• 中位数（median）是一组数据排序后处于中间位置上的变量值。适用于测度顺序数据的集中趋势，和数值型数据的集中趋势，不适用于分类数据。

  
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• 四分位数 （quartile）也成四分位点，它是一组数据排序后处于25%上的位置和75%位置上的值。位置确定有如下几种：

  
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  Excel中可以使用QUARTILE函数计算一组数据的四分位数。
  算法：QUARTILE.INC（array，quart）

1.1.3 数值型数据：平均数
平均数也称均值（mean），它是一组数据相加后除以一组数据的个数的结果。
平均数是集中趋势的测度值，适用于数值型数据，而不适用于顺序数据和分类数据。

1. 简单平均数和加权平均数
   根据未经分组数据计算的平均数称之为简单平均数（simple mean）

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• 根据分组数据计算的平均数称之为加权平均数（weighted mean）

  
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  2.特殊的平均数：几何平均数

• 几何平均数（geometric mean） 是n个变量值乘积的n次方根，用G表示。
  当数据中出现零值或负值时，不宜计算集合平均数。主要用于计算平均比率。

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  Excel中GEOMEAN函数可以计算数值型的几何平均数
  语法：GEOMEAN（number1……）
  当所平均的各比率数值差别不大时，算数平均和几何平均结果差别不大，反之差别明显。

1.1.4 众数，中位数，平均数的差别

• 关系：
  分布角度：众数是数据分布的最高峰值，中位数处于数据中中间位置上的值，平均数是算数平均。
  对于单峰分布而言：如果数据对称：众数=平均数=中位数。
  如果左偏分布：会出现极小值，关系为：平均数<中位数<众数。
  如果右偏分布 ：众数<中位数<平均数。

• 应用场合：
  众数是一组数据分布的峰值，不受极值影响。缺点是不具有唯一性。适合作为分类数据的集中趋势测度值。

  中位数是一组数据中间位置上的值，不受极端值影响，适合顺序数据的测度值。

  平均数：针对数值型数据，是应用最广泛的集中趋势测度值。缺点容易受极端值影响。

  
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1.2 离散程度的度量

数据的离散程度是数据分布的另一个重要特征。反应个变量值原理中心值的程度。越大，集中趋势测度值代表性就越差；越小，代表性就越好。根据不同数据类型还有的异众比率，四分位差，方差和标准差。还有极差，平均差，和离散系数。

1.2.1 分类依据 ：异众比率（variation ratio）
是指非众数组的频数占总频数的比例。用Vr表示

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异众比率主要衡量众数对一组数据的代表程度。越大说明，非众数组的频数越大，众数的代表性越差。反之，越好。属于顺序和数值型数据也可以计算。

1.2.2顺序数据：四分位差（quartile deviation）

也称四分间距（inner -quartile range），是上四分位数和下四分位数的差值。Qd表示
Qd = Qu-Ql
其反映了50%的离散程度，数值越小，说明中间数据；反之，分散。一定程度上说明了中位数的影响，不适合分类数据。

1.2.3 数值型数据：方差和标准差

• 极差：一组数据中最大值和最小值的差。也称全距。用R表示。
  R = max（Xi）-min（Xi）
  容易受极端值影响，不能反映中间数据。

• 平均差（mean deviation）
  也称平均绝对差（mean absolute deviation）。是个变量值与平均数差的绝对值。

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  Excel的AVEDEV（number……）可以计算平均差。

能全面反映数据的离散程度。越大说明离散程度越大；反之，越小。

• 方差和标准差
  方差（variance）是各变量值与平均数差平方的平均数。
  标准差（standard deviation）是方差的平方根。

能更好的反映数据的离散程度。

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Excel的统计函数STDEV(number……)
总体数据：STDEVP（number……）

自由度（degree of freedom）：样本方差是用样本数据减1后去除离差的平方和。其中n-1称为自由度。

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• 相对位置的度量
  1.标准分数（standard score）：变量值与其平均数的差除以标准差。也称标准分数。设标准分数为z
  

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  标准分数给了一组数据中的相对位置。

1.2.4 相对离散程度：离散系数

离散系数：也称变异系数，它是一组数的标准差和平均数之比。

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1.3 偏态和峰态的度量

1.3.1 偏态及其测度

偏态（skewness）：是对数据分布对称性的测度。测度偏态的统计量是偏态系数（coefficient of skewness ）。记作 SK。

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