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用复数推导三角恒等式（部分，随时补充）

用复数推导三角恒等式（部分，随时补充）

作者: 寽虎非虫003 | 来源:发表于2022-11-16 00:36 被阅读0次

说明

书上推荐过用复数来推导倍角公式，但是自己没推过其他的，而且，自己老是记不住一大堆的三角函数恒等式，感觉都是死公式，很难记，所以再尝试推一遍复数形式帮自己记下来。而且希望这个方法是能临时重新推导出来使用的。

回忆

复数

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta
i^2=-1

多项式展开

(a_1+a_2+\cdots +a_n)^n = \displaystyle \sum_{k_1,\cdots,k_n}\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_n!}a_1^{k_1}a_2^{k_2}\cdots a_n^{k_n}，其中k_1,k_2,\cdots,k_n\in \{0,1,2,\cdots,n\}, \displaystyle\sum_{i=1}^nk_i=n.
其中二项式展开为
(a_1+a_2)^n =\sum_{k=0}^n C_n^ka_1^ka_2^{n-k}.

开始推导

两角和

两角和直接按照复数的运算法则即可求得，同时也是\alpha绕原点旋转\beta得到的最终向量。图中的\alpha,\beta既是指弧度的值，也是指该弧度对应的单位向量。

两角和
\begin{aligned} e^{i(\alpha+\beta)} &=e^{i\alpha}e^{i\beta}\\ \cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta) &= (\cos\alpha + i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)\\ \cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta) &=\cos\alpha\cos\beta -\sin\alpha\sin\beta+i\cos\alpha\sin\beta+i\sin\alpha\cos\beta \\ \end{aligned}
实部与实部相等，虚部与虚部相等上式最后写成
\begin{aligned} \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta -\sin\alpha\sin\beta\\ \sin(\alpha+\beta) =\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta \end{aligned}

两角差同理。也可以在结论里面直接将\beta替换成-\beta处理。

倍角

倍角公式也是直接运用复数的运算法则。
通用推导
\begin{aligned} e^{in\alpha} &=({e^{i\alpha}})^n = \underbrace{e^{i\alpha}e^{i\alpha}\cdots e^{i\alpha}}_n\\ \cos(n\alpha)+i\sin(n\alpha) &= (\cos\alpha + i\sin\alpha)^n\\ \cos(n\alpha)+i\sin(n\alpha) &=\sum_{k=0}^n C_n^k \cos^k\alpha ( i\sin\alpha)^{n-k} \end{aligned}
比如2倍角
\begin{aligned} e^{i2\alpha} &=({e^{i\alpha}})^2 = \underbrace{e^{i\alpha}e^{i\alpha}}_2\\ \cos(2\alpha)+i\sin(2\alpha) &= (\cos\alpha + i\sin\alpha)^2\\ \cos(2\alpha)+i\sin(2\alpha) &=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha+2i\sin\alpha\cos\alpha \end{aligned}
就得到
\begin{aligned} \cos(2\alpha) =\cos^2\alpha-\sin^2\alpha \\ \sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha \end{aligned}
但是半角好像不能直接这么用。

三角函数的和

三角函数的和这个地方要注意将单位长度的复数看做是一个向量，将两个复数的加法看成是两个向量的加法即可理解，

两向量相加
\theta向量是\alpha+\beta'，方向是\frac{\alpha+\beta}{2},长度是、alpha在该向量方向投影的两倍，可以利用角平分线很自然的得到的，而且我还画了垂线。
因此
\begin{aligned} e^{i\alpha}+e^{i\beta}&=2\cos\frac{\beta-\alpha}{2} e^{i(\frac{\alpha+\beta}{2})}&=&2\cos\frac{\beta-\alpha}{2}e^{i(\alpha + \frac{\beta-\alpha}{2})}\\ \cos\alpha + i\sin\alpha+\cos\beta+i\sin\beta&=2\cos\frac{\beta-\alpha}{2} \cos(\frac{\alpha+\beta}{2})+i2\cos\frac{\beta-\alpha}{2}\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})&=&2\cos\frac{\beta-\alpha}{2}\cos(\alpha + \frac{\beta-\alpha}{2})+i2\cos\frac{\beta-\alpha}{2}\sin(\alpha + \frac{\beta-\alpha}{2})\\ \end{aligned}
即得
\begin{aligned} \cos\alpha +\cos\beta&=2\cos\frac{\beta-\alpha}{2} \cos(\frac{\alpha+\beta}{2})&=&2\cos\frac{\beta-\alpha}{2}\cos(\alpha + \frac{\beta-\alpha}{2})\\ \sin\alpha+\sin\beta&=2\cos\frac{\beta-\alpha}{2}\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})&=&2\cos\frac{\beta-\alpha}{2}\sin(\alpha + \frac{\beta-\alpha}{2}) \end{aligned}
继续展开应该也很有意思。

关于差，大体上也差不多，只是其中一个向量先指向反方向，然后两个向量再相加而已。\lambda即为两个向量的差。

三角函数的和与差

半角

其实可以把半角简单的理解为\alpha与e^{i0}的向量和，即转换为了三角函数的和的问题
\begin{aligned} e^{i\alpha}+e^{i0}&=2\cos\frac{-\alpha}{2} e^{i(\frac{\alpha}{2})} = 2\cos\frac{\alpha}{2} e^{i(\frac{\alpha}{2})} \\ \cos\alpha+i\sin\alpha+1&=2\cos\frac{\alpha}{2}(\cos\frac{\alpha}{2}+i\sin\frac{\alpha}{2})\\ \cos\alpha+1+i\sin\alpha&=2\cos^2\frac{\alpha}{2}+i2\cos\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{2}\\ \end{aligned}

即为
\begin{aligned} \cos\alpha+1&=2\cos^2\frac{\alpha}{2}\\ \sin\alpha&=2\cos\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{2} \end{aligned}
但是这只解决了\cos^2\frac{\alpha}{2}这一半，另一半不能够这么直观的展示出来，而必须借助\cos^2\frac{\alpha}{2}+\sin^2\frac{\alpha}{2}=1来间接推导出来，反而不是很满意。

另外，似乎不仅是半角，甚至三分之一角等等，都可以用旋转和向量相加进行推导。

正弦与余弦相加

一个角的正弦与余弦相加的计算方法，可以看做是先将这个角对应的向量旋转90^o，再与原向量相加
如图

一个单位向量与其垂直的单位向量相加
\begin{aligned} e^{i\alpha}+e^{i(\frac{\pi}{2}+\alpha)}&=e^{i\alpha}+ie^{i\alpha}&=&2\cos\frac{\pi}{4}e^{i(\frac{\pi}{4}+\alpha)}\\ \cos\alpha+i\sin\alpha + \cos(\frac{\pi}{2}+\alpha) + i\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)&=\cos\alpha+i\sin\alpha -\sin\alpha+ i\cos\alpha&=&2\cos\frac{\pi}{4}\cdot(\cos(\frac{\pi}{4}+\alpha)+i\sin(\frac{\pi}{4}+\alpha)) \end{aligned}
即得
\begin{aligned} \cos\alpha -\sin\alpha&=2\cos\frac{\pi}{4}\cos(\frac{\pi}{4}+\alpha)& =&\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4}+\alpha)\\ \sin\alpha+ \cos\alpha&=2\cos\frac{\pi}{4}\sin(\frac{\pi}{4}+\alpha)&=&\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4}+\alpha) \end{aligned}
这是同角的正余弦加减，不通角的完全也可以使用其中一个角旋转90^o之后两个向量相加减的方法获得，应该也一样有意思。

间接推导

下面写的是间接推导得到的部分，就没有上面这么直观了。
所以\tan,\cot和积化和差都是间接推导，我还没有想到直接表示在图上的方法。

不想补充了，感觉我又飘了。

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