很短的笔记关于Classical inverse scatter

很短的笔记关于Classical inverse scattering method

可积性(integrability)是一种很神奇的现象。可积的系统，往往可以被精确求解。一般的具有相互作用的系统，运动方程大多数是非线性的偏微分方程。但是如果系统具有可积性，我们可以用逆散射（Classical inverse scattering method） 构造解，这个构造过程只包含解一些线性的常微分方程还有一些积分。这个现象很像是另一种bulk/boundary的对应。
比如我们想求一个非线性可积系统的解 u(x,t)。我们可以构造一个量子系统，让薛定谔方程里面的势能是u(x,t)。然后在空间的边界也就是无穷远处解不含时薛定谔方程。因为我们假设在无穷处 u(x,t) 趋向为0，这个薛定谔是一个线性的常微分方程所以很好求解。这些解被称为散射数据（scattering data）。这些散射数据都是定义在无穷处的，而且也随时间演化。这些数据就足够我们来构造我们想要的u(x,t)！这个过程就是傅里叶变化的一种推广，类似于超声波成像或是X射线成像的原理：通过收集反射和投射的波，我们重新构造出散射介质的性质。