通过前两节的基础知识铺垫，现在可以回到视频的P3和P4，重新看了。建议先关弹幕看一遍，然后打开弹幕看看大家的讨论，可能会有意外收获。
https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E?p=4
一、概念
1.对象的变换等价于坐标系的变换
如图，这是常见坐标系ij黄色向量
经过线性变换(直线依旧是直线，保持网格线平等且等距分布，并且原点保持固定)：
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如图，新坐标系的基就是那个绿箭头和红箭头，在原来的ij坐标系下的坐标值是1，-2和3，0。经过如图的计算过程，坐标系的变化，导致原来的V向量变成了5，2，实现了移动。
结合孟岩的理解矩阵系列，这就容易理解了：
嗯，所以我说到了关键的一步。我并没有骗人，之所以矩阵又是运动，又是坐标系，那是因为—— “运动等价于坐标系变换”。对不起，这话其实不准确，我只是想让你印象深刻。准确的说法是：“对象的变换等价于坐标系的变换”。 或者：“固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换。” 说白了就是：“运动是相对的。”
现在可以推断出任意向量在变换之后的位置，以x,y为例：
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2.矩阵的乘法
现在看一个新的坐标变换，如图i,j已经标上了
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现在把它们放到2*2的矩阵里：
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这里视频并没有着重强调，但我却觉得非常重要。可以理解为万恶之源，矩阵就这样出现了。之前我们一直在向量的讨论范围内做加减和缩放，现在突然就混入了矩阵。根据字幕的意思，可以把这个矩阵理解为两个特殊的向量，即变换后的i帽和j帽。是不是有一种函数的参数，还是一个函数的嵌套感？
如果一个向量，比如5,7经过这个线性变换，结果是什么呢？这里要注意，从右向左读更容易理解。5,7是原始变量，左侧的矩阵是一个对它进行的变换。
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看到这里，可能会有困惑，为什么结果是拿5乘以竖着的[3,-2]矩阵，然后还要加上7乘以竖着的[2,1]？其实需要的知识在本文开头已经讲了，我们可以把[5,7]理解为是一种新的写法，它实际上表示的是向量5i+7j，根据向量加法，5i+7j正是从原点(0,0)指向(5,7)那个点的一个向量。然后我们描述这样一个变换，也就是把i变成竖着的[3,-2]，j变成竖着的[2,1]，变换后的结果自然就是i,j各自变换后，仍然加在一起：
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上面也说了，我们把这种变换竖着写在一起，就是矩阵：
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利用这种思路，可以看看百度百科中更复杂的矩阵乘法例子：
https://baike.baidu.com/item/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E4%B9%98%E6%B3%95/5446029?fr=aladdin
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如上图，可以将[2,4]，[1,3]，[3,2]当成三个部分，等于[2,4]i+[1,3]j+[3,2]k，就和之前竖着的[5,7]视作5i+7k一样。现在变换将i,j,k这三个基坐标变成了四行的坐标形式，相当于[2,4]也变成了四行的形式。同样的，[1,3]，[3,2]也变成了四行的形式。如果比作三维变换到四维，我不知道这样类比正确不正确。所以，变换后的东西，仍然是像[2,4]一样有两列，不过有四行。
现在，推广到更一般的情况：
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x,y经过一个线性变换，而这个线性变换两个基的变换可以放到一个矩阵里表示，把它放到左乘位置，就可以定义为矩阵的乘法了。
这里可以参考孟岩的理解矩阵第三篇：
Ma = Ib的意思就是说：
“在M坐标系里量出来的向量a，跟在I坐标系里量出来的向量b，其实根本就是一个向量啊！”
这哪里是什么乘法计算，根本就是身份识别嘛。
从这个意义上我们重新理解一下向量。向量这个东西客观存在，但是要把它表示出来，就要把它放在一个坐标系中去度量它，然后把度量的结果（向量在各个坐标轴上的投影值）按一定顺序列在一起，就成了我们平时所见的向量表示形式。你选择的坐标系（基）不同，得出来的向量的表示就不同。向量还是那个向量，选择的坐标系不同，其表示方式就不同。因此，按道理来说，每写出一个向量的表示，都应该声明一下这个表示是在哪个坐标系中度量出来的。表示的方式，就是 Ma，也就是说，有一个向量，在M矩阵表示的坐标系中度量出来的结果为a。我们平时说一个向量是[2 3 5 7]T，隐含着是说，这个向量在 I 坐标系中的度量结果是[2 3 5 7]T，因此，这个形式反而是一种简化了的特殊情况。
注意到，M矩阵表示出来的那个坐标系，由一组基组成，而那组基也是由向量组成的，同样存在这组向量是在哪个坐标系下度量而成的问题。也就是说，表述一个矩阵的一般方法，也应该要指明其所处的基准坐标系。所谓M，其实是 IM，也就是说，M中那组基的度量是在 I 坐标系中得出的。从这个视角来看，M×N也不是什么矩阵乘法了，而是声明了一个在M坐标系中量出的另一个坐标系N，其中M本身是在I坐标系中度量出来的。
下面我们得出一个重要的结论：“对坐标系施加变换的方法，就是让表示那个坐标系的矩阵与表示那个变化的矩阵相乘。”再一次的，矩阵的乘法变成了运动的施加。只不过，被施加运动的不再是向量，而是另一个坐标系。
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3.关于为什么是左乘
B站视频的弹幕有网友作出解释，摘抄一部分：
- 这就解释了为什么矩阵的乘法要求左边的列和右边的行要相等。因为左边的列相当于基向量的维度，右边的行相当于转变向量的维度，这两个要在同一维度。
二、简单例子
1.逆时针旋转90度
坐标系的i变成了0，1；j变成了-1，0。所以任意向量逆时针旋转90度之后结果是这样的：
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2.剪切，也叫错切
i没有变，j变成了1，1
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三、旋转与剪切的复合变换--矩阵乘以矩阵
注：这个知识点处于视频的P5 https://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E?p=5
先旋转再剪切后，ij的坐标如图
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这里，两个矩阵的相乘就有了几何意义，即两个线性变换，相继发生作用。
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在这里我们发现，矩阵乘法的变换顺序是从右往左读的（这一个常识很重要，你得明白这一点，有基本概念），进一步联系和思考发现，和复合函数的形式，如 f(g(x)) ，是一致的。如果从代码的角度，也可以理解为递归。
现在从右向左读,M1的i即e,g又经过了M2变换，如下图：这里乘上M2相当于把M1变换后的基，在M2变换方式中变换。注意，M2变换是针对最初的(1,0)，(0,1)的。也就是M2和M1都是基于原有坐标系的。
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同理把M1的j也这样变换，最终得到结果：
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现在应该很容易明白M1M2不等于M2M1,因为这两者的复合变换，顺序是不同的。而对于交换率呢，也就是(AB)C和A(BC)是否相同呢？很明显相同，从右向左的复合变换，顺序完全相同，括号只不过是把其中两个变换合并而已。
四、矩阵乘法扩展
1.实际计算技巧
这个技巧来自
GAMES101-现代计算机图形学入门-闫令琪
https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744?p=2
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我们已经知道3行2列的矩阵，乘以2行4列的矩阵，结果就是一个3行4列的矩阵。现在，假如我想知道结果矩阵第2行第4列的结果值是什么？只要找出左矩阵的第二行，乘以右矩阵的第4列即可。即5*4+2*3=26。
这里以上面B站视频的分析，是这样计算的：
原谅我不会写矩阵，只能截图了……
这与上面的计算技巧是一个意思，只不过现在一次性算出来三行。其实细看这三行，正是上面用到的第几行乘以第几列的技巧。
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