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Surreal Numbers - 0

Surreal Numbers - 0

作者: 家中古词 | 来源:发表于2019-06-30 00:45 被阅读0次

周五拜访同事(也是前辈)的居所。看到这本书,中译叫《研究之美》(我觉得非常难听)。感觉有一些兴趣。今天细看了一下,记录一点笔记。

甫一开头,Alice 和 Bill 发现了半块石碑,上面记录着创造数字的故事。

定义是一个二元组,左右分别是两个集合,集合中的元素是之前创造出的数。设 L(x) 表示数 x 的左边集合,R(x) 表示其右边集合,则 x 还标识为 (L(x), R(x))。数的定义还要求,\forall x_L \in L(x), x_R \in R(x),\quad x_R \nleq x_L

上述的 x \nleq y 的意思是 \neg(x \leq y),而 x \leq y 定义为同时满足:

  1. \forall x_L \in L(x), \quad y \nleq x_L
  2. \forall y_R \in R(y), \quad y_R \nleq x

书里的定义同时使用了 \geq\leq,我改写成了只用 \leq 来表示,希望不会造成什么错误。

宏观来看,这实在是一个复杂地不得了的定义。虽然看起来有趣味,但是【数】,和【数的比较】的定义相互依赖,完全可以预感会展开成一坨奇怪的东西。

所幸,书上的石碑给出了一个好的开始:m_0 = (\emptyset, \emptyset)。这个数因为左右集合都是空集,所以是满足数的定义的。石碑把 m_0 定义为数 0。但我先不想这样写。

此外还用 m_0 创造了两个新的数 m_1 = ({m_0}, \emptyset)m_{-1} = (\emptyset, {m_0})。这两个也自然是满足定义的。而且可以发现由于数的定义给出的不平凡要求,需要在 L(x)R(x) 中都枚举,所以 (\emptyset, R(x))(L(x), \emptyset) 都是满足这个定义的。

按照这个理论,审视比较的定义,可以看出:

(\emptyset, R(x)) \leq (L(x), \emptyset)

也就得到了:

(\emptyset, R(x)) \leq m_0 \\ m_0 \leq (L(x), \emptyset) \\ m_0 \leq m_0

前两个式子里,如果将 m_0 看作 0,那么 (\emptyset, R(x)) 都像是负数,(L(x), \emptyset) 都像是正数。所以 m_1m_{-1} 的定义不是反过来的,看起来不是巧合。

让我感兴趣的反而是第三个式子,这让我看出了 \leq 满足自反性的希望。即要说明 x \leq x。这意味着要说明:

  1. \forall x_L \in L(x), \quad x \nleq x_L
  2. \forall x_R \in R(x), \quad x_R \nleq x

x \leq x_L 表示 \forall x'_L \in L(x), \quad x_L \nleq x_L 且某条件 P_A

x_R \leq x 表示 \forall x'_R \in R(x), \quad x_R \nleq x_R 且某条件 P_B

带入得到:

  1. \forall x_L \in L(x),\quad (\exists x'_L \in L(x), \quad x'_L \leq x_L) \cup P_A
  2. \forall x_R \in R(x),\quad (\exists x'_R \in R(x), \quad x'_R \leq x_R) \cup P_B

它的一个充分条件是:

  1. \forall x_L \in L(x),\quad x_L \leq x_L
  2. \forall x_R \in R(x),\quad x_R \leq x_R

m_0 满足自反公式,归纳地认为 L(x)R(x) 中的数上都存在自反公式,所以新创造是任意 x 也满足自反公式。

如果我还能说明 \leq 存在反对称性和传递性,那么它就是一个偏序关系。如果还能证明它存在完全性,那么这就是一个全序关系。这时就真正十分接近常识理解中的小于等于了。

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