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利用累乘法求数列通项公式

利用累乘法求数列通项公式

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-10-27 14:08 被阅读0次
利用累乘法求数列通项公式

方法四 利用累乘法求数列通项公式

使用情景：型如\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)或a_{n+1}=a_n \times f(n)

解题步骤：

第一步 将递推公式写成\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=f(n)；

第二步 依次写出\dfrac{a_n}{a_{n-1}}，…，\dfrac{a_2}{a_1}，并将它们累乘起来；

第三步 得到\dfrac{a_n}{a_1}的值，解出a_n；

第四步 检验a_1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.

【例】 已知数列\{a_n\}满足a_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}a_n，求a_n

【解析】

由条件知\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{n}{n+1}，分别令n=1,2,3,…,(n-1)，

代入上式得(n-1)个等式累乘之，

即\dfrac{a_2}{a_1}\cdot \dfrac{a_3}{a_2}\cdot \dfrac{a_4}{a_3} \cdot … \cdot \dfrac{a_n}{a_{n-1}}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{3}\times \dfrac{3}{4} \times … \times \dfrac{n-1}{n}

\Rightarrow \dfrac{a_n}{a_1}=\dfrac{1}{n}

又\because a_1=\dfrac{2}{3}，

\therefore a_n=\dfrac{2}{3n}

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