第4课 A的LU分解

作者: rascalpotato | 来源:发表于2019-06-01 11:04 被阅读0次

矩阵的LU分解2_线性代数_day41
非方正矩阵的LU分解_线性代数_day42
4.3 LU分解
第4课 A的LU分解
矩阵的LU分解
1.4、A的LU分解
数值分析知识补漏
4. 矩阵的逆及LU分解
【MIT】04-A的LU 分解
线性代数基础知识

大纲

总目标，总的消元公式A=LU
讨论一些矩阵的乘法（消元矩阵的乘法）

$\underbrace{\begin{bmatrix}1&0\\-4&1\end{bmatrix}}_{E_{21}}\underbrace{\begin{bmatrix}2&1\\8&7\end{bmatrix}}_A = \underbrace{\begin{bmatrix}2&1\\0&3\end{bmatrix}}_U$

$\underbrace{\begin{bmatrix}2&1\\8&7\end{bmatrix}}_A= \underbrace{\begin{bmatrix}1&0\\4&1\end{bmatrix}}_{L} \underbrace{\begin{bmatrix}2&1\\0&3\end{bmatrix}}_U$

$E_{21}A=U \to E_{21}^{-1}(E_{21}A)=E_{21}^{-1}U \to (E_{21}^{-1}E_{21})A=E_{21}^{-1}U \to IA=LU$
L为下三角阵，D为对角阵，U为上三角阵
$\underbrace{\begin{bmatrix}1&0\\4&1\end{bmatrix}}_{L} \underbrace{\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}}_{D} \underbrace{\begin{bmatrix}1&1/2\\0&1\end{bmatrix}}_{U}$

乘积的逆

两矩阵相称，且它们的逆已知，那么AB的逆是什么？

$AA^{-1} = I=A^{-1}A$

$(AB)(B^{-1}A^{-1})=I=(B^{-1}A^{-1})(AB)$

$(AA^{-1})^T=I=(A^{-1})^TA^T$

$(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$

$m_{3*3}$ 的情况：忽略换行

$E_{32}E_{31}E_{21}A=EA=U \to A=E_{21}^{-1}E_{31}^{-1}E_{32}^{-1}U=LU$
$A=LU$ 如果不存在行互换，消元乘数（即消元步骤中需要乘以并减去的那个倍数）可以直接写入L中，这是关于消元的全新认识，以矩阵形式进行消元更深刻的认识，令人着迷的是E逆的反顺序乘积，轻松得到L.

置换矩阵（P）

$I=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$
$P_{12}= \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}, P_{13}= \begin{bmatrix} 0&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&0 \end{bmatrix}...$

得到交换任意几行的置换阵，只需要互换单位阵中的相应行即可，3x3的置换阵有6个，包括单位阵。

特性： $P^{-1}=P^T$

微积分考虑的是连续情况下的“求和”，线性代数是离散的

矩阵的LU分解2_线性代数_day41
将矩阵A分解为分解成了LU矩阵 LU分解大概有：
非方正矩阵的LU分解_线性代数_day42
矩阵的LU分解就是将矩阵分解成一个上三角矩阵，和一个下三角矩阵矩阵的LU分解可以用于非方阵的分解矩阵的LU分解...
4.3 LU分解
LU分解的前提：定理3.1 顺序主子式均不为0 ，必有唯一的LU分解定理3.2 非奇异矩阵A，必有PA=LU，...
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前言看了麻省理工的线性代数的一部分课程，主要是补补课，大二线代忘得差不多，主要目的是学习SVD，学习SVD之前补...
1.4、A的LU分解
html与pdf笔记更新链接(Google云盘)
数值分析知识补漏
1、方程组（高斯消元，LU分解，AP=LU分解，误差问题，共轭梯度） 2、最小二乘（模型，正规方程，不相容，QR分...
4. 矩阵的逆及LU分解
矩阵的初等变换矩阵的逆矩阵的LU分解
【MIT】04-A的LU 分解
内容这节课继续讲逆矩阵（A*B 和 A的转置的逆矩阵），以及A的LU分解。 Inverse of AB， A^T...
线性代数基础知识
逆矩阵: 矩阵乘法: 矩阵分解LU [图片上传失败...(image-d96558-1512018149840)]...