数据结构与算法 - 基础

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程序 = 数据结构 + 算法

其实很多同学知道数据结构与算法很重要，但是却不明觉厉。 这里我们看一个简单的题：

对自然数从1到100的求和

最简单的设计无非是：

void addNum () 
{    
  int total = 0;    
  for (int i = 1; i <= 100; i ++) {     
     total += i;  
  }   
 printf("total is %d \n",total);// 5050}

没毛病，但是哥根廷的数学家 高斯 在其9岁的时候就发明了一个快速计算等差数列求和的小技巧 （1+100，2+99，3+98.....），总共50 对101，结果5050。其公式可以归纳为：

不论n多大，我们只用算一次就可以得出结果，而上面的循环却要循环n次，n很小无所谓，如果几万几十万这个时间消耗不言而喻，由此可见数据结构与算法确实很重要。

数据

数据结构中最基本的5个概念：数据、数据元素、数据项、数据对象，他们整体构成数据结构。

image

比较抽象，我们用代码来展示如下：

struct Teacher {
    char *name;
    char *sex;
    int age;
};

int main(int argc, const char * argv[]) {
    struct Teacher t1;          // 数据元素
    struct Teacher tArray[10];  // 数据对象（ 一组数据元素组成 ）
    t1.name = "Mary";           // 数据项
    t1.sex = "female";          // 数据项
    t1.age = 23;                // 数据项
    return 0;
}

数据元素之间不是独立的，存在特定的关系，这些关系即结构，数据结构指的就是数据对象中数据元素之间的关系。

结构

从视角的不同作以区分，我们将数据结构分为两种类型：逻辑结构 和 物理结构

逻辑结构

逻辑结构分为：集合结构 、线性结构、树形结构 、图形结构。

• 集合结构

集合结构中的数据元素除了同属一个集合外，彼此之间没有其他关系。

• 线性结构

线性结构中的数据元素之间都是一对一的关系，从图中也可以看出他们像一条线一样把各个元素连起来，常用的线性结构有：链表 ，栈，队列 ，数组 等等。

• 树形结构

树状.jpg

树形结构中的元素是呈现一对多的关系，常见的树有：二叉树，B树，哈夫曼树 等等。

• 图形结构

图形结构之间的元素是多对多的关系，常见的图形结构有： 矩阵 等。

物理结构

物理结构其实就是存储结构，就是存储到计算机中的形式。数据存储的结构才真正反映了数据存在的样式，也反映了数据元素之间的逻辑关系，如何设计数据的存储以及相互之间的关系才是数据结构的关键。

• 顺序存储

我们知道计算机中的内存都是连续的，如上图所述，1-6个元素按照顺序存储的方式存到内存里，比如第一个元素的内存地址是 0x000001 假设我们这个顺序表中每个元素占1个位置，那么很容易得到第二个元素的地址是 0x000002,以此类推很容易知道第六个元素的地址是 0x000006

• 链式存储

这里我画了一个简单的图，大概描述了一下链式存储在内存中是如何体现的。当我们的元素在内存中是散乱的，也就是他们的地址之间没有一定的规律，这个时候就要靠我们的指针去标记位置了，比如我们把 元素2 的物理地址 0x000019 存储到 元素1 中去，那么每两个元素之间就会有一定的相互绑定的关系，这就是链式存储的基本逻辑。

通过上述我们会发现，顺序存储的结构查找会很容易，因为直接按照顺序对应的索引就能对应找到相应的内存地址，而链式存储则不行，不过链式存储的结构对于数据的增删就特别快了，因为他们之间的关系靠的是指针，而不是内存地址的偏移。

算法

算法是解决特定问题步骤的描述，在计算机中表现为解决特定问题的一系列代码

数据结构脱离算法，或者算法脱离数据结构都是无法进行的，因为算法是基于数据结构进行的，只有数据结构而没有算法那么数据结构存在就没有意义了。

程序 = 数据结构 + 算法

算法的特性

• 输入输出

• 有穷性 ：当然不能是无限循环了...

• 确定性 : 每一步都是明确的，不能出现模棱两可选择。

• 可行性

算法的设计要求

• 正确性

• 可读性

• 健壮性

• 时间效率高和存储量低 ：其实这才是算法的精髓，研究算法无非就是要提高效率和降低存储。

时间空间复杂度

通常我们用程序代码执行的次数作为算法时间复杂度的衡量，通常我们用 大O 法来进行标记。

• 用常数1取代运行时间中的所有常数

• 各种复杂度相加，只保留最高阶 n+2n+log(n)+n^2 -----> n^2

• 如果最高阶存在且不是1，则去掉这个项相乘的常数 O(5logn) -----> O(logn)

  常数阶

  通常用O(1) 来表示

//1+1+1 = 3
void testSum1(int n){
    int sum = 0;                //执行1次
    sum = (1+n)*n/2;            //执行1次
    printf("testSum2:%d\n",sum);//执行1次
}

不管n是多少，这个地方都只用执行1次，所以n不会影响其时间复杂度，O(1)

线性阶

void add2(int x,int n){
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        x = x+1;
    }
}

可以发现这个for循环会执行n次，所以其时间复杂度为 O(n)

对数阶

int count = 1;
while(count < n){
    count = count * 2;
}

上述算法换个写法就是2^x = n 就可以得到 x = log2n,我们说过常数如果不是1都可以去掉，最终结果就是 O(logn)

平方阶

// x=x+1; 执行n*n次
void add3(int x,int n){
    for (int i = 0; i< n; i++) {
        for (int j = 0; j < n ; j++) {
            x=x+1;
        }
    }
}

外层循环n次，内层循环n次，加在一起就是 n*n = n^2 次,所以其时间复杂度为 O(n^2)

O(1)<O(logn)< O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

其实我们只用关注前面的复杂度就行了，如果你的算法时间复杂度像后面的那几位靠齐，也就没啥好说的了，指数级的增长还是蛮恐怖的。

空间复杂度

算法设计有一个重要原则： 空间 时间 权衡

算法的空间负责度是通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式是：s(n) = n(f(n)) 其中n为问题的规模，f(n) 为语句关于n所占存储空间的函数。

我们通过一个简单的例子大概了解一下空间复杂度：

int n = 5;
    int a[10] = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};

    //算法实现(1)
    /*
    算法(1),仅仅通过借助一个临时变量temp,与问题规模n大小无关,所以其空间复杂度为O(1);
    */
    int temp;
    for(int i = 0; i < n/2 ; i++){
        temp = a[i];
        a[i] = a[n-i-1];
        a[n-i-1] = temp;
    }

    for(int i = 0;i < 10;i++)
    {
        printf("%d\n",a[i]);

    }


    //算法实现(2)
    /*
     算法(2),借助一个大小为n的辅助数组b,所以其空间复杂度为O(n).
    */
    int b[10] = {0};
    for(int i = 0; i < n;i++){
        b[i] = a[n-i-1];
    }
    for(int i = 0; i < n; i++){
        a[i] = b[i];
    }
    for(int i = 0;i < 10;i++)
    {
        printf("%d\n",a[i]);

    }

需要注意的是：算法的空间复杂度并不是整个算法占用内存的空间，而是该算法在实现的时候所需的辅助空间。

研究算法的最终目的是要提高程序运行的效率，我们还想降低程序运行所占用的内存等等，这两个一个是时间维度，一个是空间唯独。一个好的算法并不是说一定要时间复杂度低，也不一定要空间占用小，这些东西要根据项目实际情况去均衡。希望这篇文章能够将数据结构与算法的基础知识讲清楚。