2.4 时空之尺
观察一下你身边的所有测量工具，包括：刻度尺、手表、温度计、湿度计、密度计、压力表、弹簧秤、速度表……，仔细观察不难发现，无论是重量、密度、温度、速度、还是电压、电流，一切物理量都必须通过某种规律，转化为空间尺度才能够被精确的测量：温度计要基于热胀冷缩原理，把温度转化为液体的体积变化；弹簧秤要基于胡克定律，把受力的大小转化为弹簧伸缩的长度变化；电流表要基于电流的磁效应，把电流的大小转化为指针的偏转角度。而笛卡尔要做的，就是造出一把可以同时测量时空，研究运动变化的时空之尺。
中世纪的确是思想禁锢的时代，不但天文物理方面没有进步，文学艺术方面没有发展，甚至连数学领域也都没有多少新发现，当时的很多数学家，都在尝试解决尺规作图的三大几何学难题。而笛卡尔则敏锐的发现，几何学的精确性只依赖于逻辑推理的严谨，与作图工具没有必然关系，因此，只要在机械学允许的范畴内制造出来的，与尺规同样精确的工具，都应该被允许使用。而且通过这些工具绘制出来的图形，也应该同直线和圆一样，成为几何学研究的标准对象。为此，他还亲自设计了一个带有活动轴的作图工具。一旦旧的思维枷锁被打破，全新的发现发明就呼之欲出了。
只是增加一件具体的作图工具当然不能让笛卡尔满意，他需要继续寻找世界上最理想、最标准、最完美的作图工具，为此，他必须站在一个更高的角度上，俯视几何学的作图方法，寻找尺规作图的一般规律。笛卡尔发现：虽然几何学研究的对象是点线面等抽象的空间元素，但是几何学的真正价值却不在于寻找平行、垂直、相切这样的空间关系，而是同代数学一样，几何学中尺规作图的基本规律仍然是加减乘除以及乘方开方的基本运算。唯一的区别在于，几何学中的基本元素是没有大小的点，而代数学的基本元素则是有大小的1。
几何学从大小为0的点开始，得到了连续的直线和线段；代数学从1开始，不断累加得到了离散的自然数。因此，只要任意规定一条线段的长作为单位1，所有的自然数就会在一条射线上无限延展下去，每一个数字都会在这条直线上找到一个对应的位置点，于是数轴便产生了。一切线段之间的加减运算，都可以在这条数轴上表示出来。进一步的，只要利用几何学相似原理，对单位长的线段进行一定的比例缩放，所有的分数也可以在这条直线上得到体现，于是乘除法也可以在同一条数轴上实现。由于笛卡尔所在的年代负数还没有得到普遍承认，所以笛卡尔的数轴中只有正半轴，在负数得到数学界公认以后，只需要把这条射线在反方向无限延伸，现代意义上的数轴就产生了。
那么，乘方开方的运算又应该如何表示呢？这就必须借助于直角三角形和勾股定理的帮助。早在公元前六世纪，毕达哥拉斯学派就已经证明：直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和，因此，要在数轴上精确标记出2的平方根，我们就只能借助两个直角边都为单位1的直角三角形的帮助，如果要进行其他的平方开方运算，则只需要对应的增大直角边的长度即可。因此，必须要有相互垂直的两条数轴才能满足加减乘除乘方开方的六则代数运算。于是笛卡尔坐标系诞生了。
笛卡尔坐标系就是我们常见的平面直角坐标系，我们只要在一个平面内，相互垂直的两个维度上画上均匀的刻度，平面上的每一个点，就有了自己的坐标位置；如果我们用横纵两个坐标值代表不同的变量，则一个代数方程就会演化出一系列连续变化的坐标点，从而在坐标平面上展现出不同的线条。通过这种机制，数和形得到了完美的结合，几何图形有了自己的代数含义，代数方程有了自己的直观呈现，我们终于可以通过代数解析式的方法来描述几何图形的变化规律，解析几何诞生了。
1637年，笛卡尔的名著《方法谈》问世，在解析几何部分中，笛卡尔首先讨论了尺规作图的问题，经过笛卡尔的详细分析发现：所有的直线都不过是某种形式的一次函数，所有的圆弧都是某种形式的二次函数，通过尺规作图能够实现的所有几何问题，都只能限制在特定的二次函数范围之内。但是，作为三大难题之一的立方倍积问题，则是为了寻找某一数量的三次方根，所以这是一个永远无法通过尺规作图方式解决的问题。
当然，笛卡尔发明解析几何绝不仅仅是为了解决尺规作图的问题，而是希望通过某种更严谨更直观的方式探寻事物运动变化的规律。伽利略的单摆定律已经告诉我们，单摆的周期是固定不变的。既然时间在均匀的流逝，我们就可以用坐标系的横轴代表时间的前行，用坐标系的纵轴代表运动物体的位置变化。这样一来，那些转瞬即逝的运动轨迹就被我们以静态图形的方式刻划在了坐标系当中。由于坐标系内的线条代表着某个函数表达式，所以运动变化的规律也可以通过函数的方式呈现出来了。这就是笛卡尔为我们提供的时空之尺。如图2-5所示：在这个时空坐标系中，某物体以速度v匀速直线运动，则其在时间t内经过的路程s的函数表达式为：s = v t。
与此同时，伽利略所发现的相对运动原理，也有了更为清晰明确的数学表达：当大船在湖面中匀速直线行进时，我们可以以河岸某点为中心建立为坐标系，把大船A的位置抽象为一个坐标点，因此，大船A的运动解析式则为：sA= vA t。
同时，如果我们再以大船为中心建立坐标系，把船内匀速直线行进的物体B抽象为一个坐标点，则物体B的运动解析式则为：sB= vB t。
相对于湖面而言，如图2-6所示：物体B的运动的距离则应该等于船在湖面上行驶的距离加上物体在船上移动的距离，即：s=sA+sB，又由于船A的运动和物体B的运动时同时发生的，因此时间t不变，物体B相对于湖面的速度v为：
于是，伽利略的相对性原理也在笛卡尔的坐标系上得到了完美的展现。不过，我们必须清醒的认识到，这一过程并不能视之为相对论性原理的证明！因为笛卡尔时空坐标的前提条件是：时空必须是均匀且平直的。那么，时空是均匀的吗？相对性原理是正确的吗？自然万物真如数学一般精准的运行吗？世界仍然处于一片黑暗之中！上帝说，让牛顿降生吧，于是一切变得光明。
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