作为一名知乎的深度用户（把我的时间还给我~） ，经常在知乎上看见一些有趣的概率论问题。在这里，我把这些问题做一个简单的介绍总结，希望借此能够厘清这些问题背后的概率论知识，从而使得大家能够免受一些谬论的干扰。

1. 一枚硬币，扔了一亿次都是正面朝上，再扔一次反面朝上的概率是多少？

问题链接：https://www.zhihu.com/question/29683794

这一题，在这枚硬币是一枚正常的，有正反面的均匀硬币的前提下，那么根据贝叶斯公式，或者是事件的独立性，我们都不难看出，再扔一次，正反面朝上的概率都是0.5，这没有什么好说的。

当然在现实情况下，我们可能还要考虑是不是这枚硬币出了问题：这硬币是不是只有一面？

这也很好理解，假设你被蒙上了眼睛，空降到女儿国，你发现从你身边走过的前100个都是女生，那你应该推测：下一个从你身边走过的应该还是个女生。

再举个例子，今天你走在大街上，发现所有的车的车牌的尾数都是单号，那么很可能今天就是——单双号限行。事实上，这种直觉与概率的定义并不矛盾：大量随机事件发生的频率本身就可以近似看做是事件发生的概率。所以，根据频率与概率的推断关系，这枚硬币扔了一亿次都是正面朝上，再扔一次很可能依然是正面朝上的。

不过，这个问题其实并不如表面上看到的这么简单。大家都知道，在一次随机试验中，小概率事件很可能不会出现。但是，这背后的关键在于，这个概率得要小到什么程度？

我们还是举扔硬币的这个例子：如果我扔10次硬币，大家都知道，连续10次正面这种事几乎不会发生。但是如果扔1000次呢？会不会出现连续10次正面的情况？
简单地来说，非常有可能。在这里，我做了一点简单模拟，重复扔硬币1000次，统计其中连续正面朝上最多的次数，重复这个试验10000轮，得到平均值大约是9.2次，即扔硬币1000次，你大概可以估计到：你很可能遇到连续9次正面朝上的情形。

from matplotlib import pyplot as plt  #引入Matplotlib库函数 
import numpy as np 
from random import randint

# count the maximum consecutive 1s

outer = 10000 
x = np.arange(outer)
y = np.zeros(outer)
iterations = 1000  # 设置循环次数 
for j in range(outer):
    ans = 0
    count = 0
    for i in range(iterations):
        result = randint(0,1) # 随机生成结果，在这里将1 当做是正面
        if result == 0: 
            count = 0
        else:
            count += 1
            ans = max(count, ans)
    y[j] = ans

plt.xlabel('iteration times')
plt.ylabel('Maximum 1s')
plt.scatter(x, y, c='r', marker = 'o')
plt.show()
print(sum(y)/outer)

在投掷1000枚硬币中，连续正面朝上的最大值

从这个图里我们还能看见，如果你运气足够好，扔这1000次硬币，你甚至有可能碰到连续20次以上正面的情形呢。

同时，这也解释了为什么我们在打麻将，玩游戏常常会遇到手气特别好的时候。只要玩得多，手气不好才是例外情况。

这个知乎回答的讨论也写得特别棒：打麻将的时候，为什么会有连续一段时间运气特别好的现象？
https://www.zhihu.com/question/27272696/answer/35962991

2. 假设某地区生男生女概率各50％，每个家庭都一定要生一个男孩，那么最后的男女比例是多少？

这个问题其实也很意思。有人可能会说，这样“生不到男孩不罢休”的态度，应该是男孩子多吧；也有人可能会认为，在一个家庭里可能有很多女孩，但只有一个男孩，因此应该是女孩子多。但实际上呢，最终男孩子女孩子的比例仍然是1:1。

我们可以想象一下，在第一轮，一半的母亲生了男孩，一半的母亲生了女孩；在第二轮，这一半生了女孩的母亲继续生育，仍然是一半的男孩和一半的女孩；…依次类推，每一轮生男孩的数量与生女孩的数量都是相等的，因而最后肯定生男女的比例仍然是1:1。

从理论上看，假设生男孩的概率为p，那么生第X次为男孩子，实际上服从二项分布分布。且

对于X的期望：

这里，p=0.5，若一个家庭有r个男孩，那么孩子总数，即男孩子女孩子各有r个，因此男女比例是1:1。

当然，用计算机也很容易对这个过程进行模拟 ，以前模拟的程序找不着了，但结果记得很清楚，的确是1:1。

3. 房间内有 100 人，每人有 100 块，每分钟随机给另一个人 1 块，最后这个房间内的财富分布怎样？

https://www.zhihu.com/question/62250384

知乎上有大佬给出了理论解：分布近似于对称狄利克雷分布，其分布量服从指数分布。即最终的结果是，在运气的驱使下，有钱的人越来越有钱，没钱的人越来越没有钱。整个就是马太效应的生动具体体现。因为有钱，你有机会变得更加有钱，而没有钱的人，则连逆袭的道路都没有。这个问题与赌场对赌的问题颇有相似之处：任何一个资产有限的赌徒，就算是胜负五五开赌徒也必然倾家荡产。

模拟了10000次之后的财富分布

另一个大佬针对这个问题的多种变形形式做了计算机模拟，包括：能否通过借贷翻身？富二代与普通人是否有区别？对富人征税是否可行？以及努力是否有用？我自认即使我去模拟，也不能做得比这位大佬做得更加全面了。我把链接贴在这里，大家可以移步去围观。
https://www.zhihu.com/question/62250384/answer/201726206

看起来，能够改变命运的，除了一点运气之外，就是只有努力努力在努力了。每次比别人多跑赢一点，可能就足够改写我们的人生。

写到这里，感觉概率论真是一门充满正能量的课程呢，告诉你为什么即使五五开的赌局，人们也是十赌九输 ；告诉你如果人生是一场五五开的赌局，那么努力奋斗就是实现“我命由我不由天”的唯一道路。

好了，我就先写到这里吧，觉得有收获的童鞋给我点个赞呗~