1. 构造预测函数

我们知道，在处理线性模型时，函数方程为

线性方程

在处理二分类问题时，我们希望能够将上述函数的值映射到(0,1)中，这时我们需要一个阶跃函数：sigmoid函数。

函数表达式：

sigmoid函数

sigmoid函数图像

观察函数图像，我们可以知道，该函数值域为(0,1)。在处理二分类问题时，我们可以假设当函数值大于等于0.5时，该类别属于1类；小于0.5时，该类别属于0类。既然知道了预测函数，以及怎么处理预测值，下一步开始构造损失函数吧。

2. 构造损失函数

sigmoid函数还有一重特殊的含义，那就是它本身表示的是该函数取1时的值，因此表示1，0时的概率分别为:

1/0函数值

LR模型，有一个特点，我们用1时的概率值，除以0时的概率值，可以得到 $\theta ^TX$ 。我们把这个叫做一个事情的几率，指一个事情发生与不发生的概率比值。

有了1，0时的概率值，我们可以用来表示一个0，1问题的计算概率综合值了。

概率综合值

这个公式，可以理解为，当y取1时，概率值为公式的前半部分；当y取0时，概率值为公式后半部分。一个分类问题，我们可以理解为M重0，1问题。样本概率最大时，我们可以得到最好的分类模型。那怎么求这个M重问题的最大概率P呢？在大学上概率论时，对于这种问题，我们一般用最大似然函数来求极值。首先，构造似然函数，然后变形为对数似然函数形式，然后求导，求极值点。

似然函数

对数似然函数

当时在实际分类问题中，对数似然函数是无法通过求导获取解析解的。通常我们构造损失函数，通过梯度下降来使损失函数最小来构造分类器，以及获取变量的值。梯度下降是用来求函数最小值的，故我们在似然函数前加负号来达到我们的目的。通常我们在实际操作时，还会对损失函数求平均。此时，损失函数为

损失函数

3. 损失函数最小，并求得参数 $\theta$

使用梯度下降法来求解。梯度下降法的求解过程为

梯度下降

梯度下降法的原理可以参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/52003491。为了让梯度下降进行下去，下面需要通过损失函数对变量 $\theta$ 求导。

求导

举两个例子，来说明一下梯度下降求解的过程。

1.单标量：y(x)=x^2;对x求导为2x。假设起点为x0=1,学习步长a = 0.4，那么

x1=x0 - a*(2*x0) = 1-0.4*2 = 0.2

x2 = x1 - a*(2*x1) = 0.2 - 0.4*0.4 = 0.04

...

2.多变量：y(x) = x1^2 + x2^2; 对x求导为<2*x1,2*x2>，此时表示一个向量。假设X0 = (1,3),a=0.1，那么，

X1=(1,3) - 0.1*(2,6) = (0.8,2.4)

X2 = (0.8,2.4) - 0.1*(1.6,4.8) = (0.64,1.92)

...

现在我们东风都不欠了，我们可以开始LR模型的编程了。

4. 编程

对于机器学习模型，我个人的看法最好是能够自己把代码写一遍。刚开始，没头绪的时候，可以看看别人的代码，理解后，自己再写，最好能够采用矢量化编程的方式。我实在不知道怎么把代码复制进来，格式还跟编译器里面的一样。写到这里我查了一下，需要把富文本改成MArkdown，还只对新建文本生效，好烦，这次还是截图吧，以后的文章通通使用markdown的。

首先加载数据，在这里，我们让x0=1，可以说将函数的常数项b变成了变量 $\theta$ 的 $\theta _{0}$ 了。