小升初考这个？怎么可能！

最近不知道从哪里传出来一道所谓江苏省小升初的数学题，如上图所示。看似用那种小学式的面积的加加减减就能算出结果，实际则不然。考虑更一般的情况如下图所示。

设有大小两圆，小圆圆心为 ，半径为 ，大圆圆心为 ，半径为 （)。设圆心距 ，公共弦为 。我们先考虑 在 同侧的情形（即 ，正是图示情形)。我们感兴趣的是标记为红色的两条劣弧之间的面积，记为 。连 ，并延长其交 于 。显然 且 为 之中点。记 。

在 中用余弦定理，得到

于是 ，因此

另外 ，此二者的差为 。

故

而劣弧 和 对应扇形面积分别是

因此，两个弓形面积分别是

于是

回到原题，知道 ，可以计算

因此

所求阴影部分面积为

由于最后的解包含反三角函数，所以寻常小学生没办法求取这个精确值，而具备高中知识的人是完全可以搞定上面推理计算的。对于其他圆心距取值范围，亦可做类似的计算。

对于本题，可以考虑更粗暴的方法。如下图建立笛卡尔坐标系：

两圆方程为

联立解出交点 横坐标是 。对于两条红色的劣弧，可以分别表示成函数

在 之间的图像。因此

只需利用积分

即可计算出同样的结果。

最后，有一点值得注意。如果原题中的阴影部分包含“橄榄球形”边上的那四个窄小区域，那么这题目就真的可以作为小升初的题目了。你会做了吗？

思考题

试对圆心距 处于其他范围的情形讨论 如何定义和计算。

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