来自公众号：码农田小齐
作者：小齐本齐
什么是堆？
堆其实就是一种特殊的队列——优先队列。
普通的队列游戏规则很简单：就是先进先出；但这种优先队列搞特殊，不是按照进队列的时间顺序，而是按照每个元素的优先级来比拼，优先级高的在堆顶。
这也很容易理解吧，比如各种软件都有会员制度，某软件用了会员就能加速下载的，不同等级的会员速度还不一样，那就是优先级不同呀。
还有其实每个人回复微信消息也是默默的把消息放进堆里排个序：先回男朋友女朋友的，然后再回其他人的。
这里要区别于操作系统里的那个“堆”，这两个虽然都叫堆，但是没有半毛钱关系，都是借用了 Heap 这个英文单词而已。
我们再来回顾一下「堆」在整个 Java 集合框架中的位置：
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也就是说，
- PriorityQueue 是一个类 (class)；
- PriorityQueue 继承自 Queue 这个接口 (Interface)；
那 heap 在哪呢？
heap 其实是一个抽象的数据结构，或者说是逻辑上的数据结构，并不是一个物理上真实存在的数据结构。
heap 其实有很多种实现方式，比如 binomial heap, Fibonacci heap 等等。但是面试最常考的，也是最经典的，就是 binary heap 二叉堆，也就是用一棵完全二叉树来实现的。
那完全二叉树是怎么实现的？
其实是用数组来实现的！
所以 binary heap/PriorityQueue 实际上是用数组来实现的。
这个数组的排列方式有点特别，因为它总会维护你定义的（或者默认的）优先级最高的元素在数组的首位，所以不是随便一个数组都叫「堆」，实际上，它在你心里，应该是一棵「完全二叉树」。
这棵完全二叉树，只存在你心里和各大书本上；实际在在内存里，哪有什么树？就是数组罢了。
那为什么完全二叉树可以用数组来实现？是不是所有的树都能用数组来实现？
这个就涉及完全二叉树的性质了，我们下一篇会细讲，简单来说，因为完全二叉树的定义要求了它在层序遍历的时候没有气泡，也就是连续存储的，所以可以用数组来存放；第二个问题当然是否。
堆的特点
-
堆是一棵完全二叉树；
-
堆序性 (heap order): 任意节点都优于它的所有孩子。
a. 如果是任意节点都大于它的所有孩子，这样的堆叫大顶堆，Max Heap;
b. 如果是任意节点都小于它的所有孩子，这样的堆叫小顶堆，Min Heap;
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左图是小顶堆，可以看出对于每个节点来说，都是小于它的所有孩子的，注意是所有孩子，包括孙子，曾孙...
- 既然堆是用数组来实现的，那么我们可以找到每个节点和它的父母/孩子之间的关系，从而可以直接访问到它们。
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比如对于节点 3 来说，
- 它的 Index = 1，
- 它的 parent index = 0,
- 左孩子 left child index = 3,
- 右孩子 right child index = 4.
可以归纳出如下规律：
- 设当前节点的 index = x,
- 那么 parent index = (x-1)/2,
- 左孩子 left child index = 2*x + 1,
- 右孩子 right child index = 2*x + 2.
有些书上可能写法稍有不同，是因为它们的数组是从 1 开始的，而我这里数组的下标是从 0 开始的，都是可以的。
这样就可以从任意一个点，一步找到它的孙子、曾孙子，真的太方便了，在后文讲具体操作时大家可以更深刻的体会到。
基本操作
任何一个数据结构，无非就是增删改查四大类：
| 功能 | 方法 | 时间复杂度 |
|---|---|---|
| 增 | offer(E e) | O(logn) |
| 删 | poll() | O(logn) |
| 改 | 无直接的 API | 删 + 增 |
| 查 | peek() | O(1) |
这里 peek() 的时间复杂度很好理解，因为堆的用途就是能够快速的拿到一组数据里的最大/最小值，所以这一步的时间复杂度一定是 O(1) 的，这就是堆的意义所在。
那么我们具体来看 offer(E e) 和 poll() 的过程。
offer(E e)
比如我们新加一个 0 到刚才这个最小堆里面：
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那很明显，0 是要放在最上面的，可是，直接放上去就不是一棵完全二叉树了啊。。
所以说，
- 我们先保证加了元素之后这棵树还是一棵完全二叉树，
- 然后再通过 swap 的方式进行微调，来满足堆序性。
这样就保证满足了堆的两个特点，也就是保证了加入新元素之后它还是个堆。
那具体怎么做呢：
Step 1.
先把 0 放在最后接上，别一上来就想着上位；
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OK！总算先上岸了，然后我们再一步步往上走。
这里「能否往上走」的标准在于：
是否满足堆序性。
也就是说，现在 5 和 0 之间不满足堆序性，那么交换位置，换到直到满足堆序性为止。
这里对于最小堆来说的堆序性，就是小的数要在上面。
Step 2. 与 5 交换
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此时 0 和 3 不满足堆序性了，那么再交换。
Step 3. 与 3 交换
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还不行，0 还比 1 小，所以继续换。
Step 4. 与 1 交换
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OK！这样就换好了，一个新的堆诞生了～
总结一下这个方法：
先把新元素加入数组的末尾，再通过不断比较与 parent 的值的大小，决定是否交换，直到满足堆序性为止。
这个过程就是 siftUp()，源码如下：
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时间复杂度
这里不难发现，其实我们只交换了一条支路上的元素，
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也就是最多交换 O(height) 次。
那么对于完全二叉树来说，除了最后一层都是满的，O(height) = O(logn)。
所以 offer(E e) 的时间复杂度就是 O(logn) 啦。
poll()
poll() 就是把最顶端的元素拿走。
对了，没有办法拿走中间的元素，毕竟要 VIP 先出去，小弟才能出去。
那么最顶端元素拿走后，这个位置就空了：
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我们还是先来满足堆序性，因为比较容易满足嘛，直接从最后面拿一个来补上就好了，先放个傀儡上来。
Step1. 末尾元素上位
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这样一来，堆序性又不满足了，开始交换元素。
那 8 比 7 和 3 都大，应该和谁交换呢？
假设与 7 交换，那么 7 还是比 3 大，还得 7 和 3 换，麻烦。
所以是与左右孩子中较小的那个交换。
Step 2. 与 3 交换
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下去之后，还比 5 和 4 大，那再和 4 换一下。
Step 3. 与 4 交换
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OK！这样这棵树总算是稳定了。
总结一下这个方法：
先把数组的末位元素加到顶端，再通过不断比较与左右孩子的值的大小，决定是否交换，直到满足堆序性为止。
这个过程就是 siftDown()，源码如下：
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时间复杂度
同样道理，也只交换了一条支路上的元素，也就是最多交换 O(height) 次。
所以 offer(E e) 的时间复杂度就是 O(logn) 啦。
heapify()
还有一个大名鼎鼎的非常重要的操作，就是 heapify() 了，它是一个很神奇的操作，
可以用 O(n) 的时间把一个乱序的数组变成一个 heap。
但是呢，heapify() 并不是一个 public API，看：
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所以我们没有办法直接使用。
唯一使用 heapify() 的方式呢，就是使用PriorityQueue(Collection<? extends E> c)
这个 constructor 的时候，人家会自动调用 heapify() 这个操作。
那具体是怎么做的呢？
哈哈源码已经暴露了：
从最后一个非叶子节点开始，从后往前做 siftDown().
因为叶子节点没必要操作嘛，已经到了最下面了，还能和谁 swap？
举个例子：
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我们想把这个数组进行 heapify() 操作，想把它变成一个最小堆，拿到它的最小值。
那就要从 3 开始，对 3，7，5进行 siftDown().
Step 1.
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尴尬 😅，3 并不用交换，因为以它为顶点的这棵小树已经满足了堆序性。
Step 2.
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7 比它的两个孩子都要大，所以和较小的那个交换一下。
交换完成后；
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Step 3.
最后一个要处理的就是 5 了，那这里 5 比它的两个孩子都要大，所以也和较小的那个交换一下。
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换完之后结果如下，注意并没有满足堆序性，因为 4 还比 5 小呢。
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所以接着和 4 换，结果如下：
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这样整个 heapify() 的过程就完成了。
好了难点来了，为什么时间复杂度是 O(n) 的呢？
怎么计算这个时间复杂度呢？
其实我们在这个过程里做的操作无非就是交换交换。
那到底交换了多少次呢？
没错，交换了多少次，时间复杂度就是多少。
那我们可以看出来，其实同一层的节点最多交换的次数都是相同的。
那么这个总的交换次数 = 每层的节点数 * 每个节点最多交换的次数
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这里设 k 为层数，那么这个例子里 k=3.
每层的节点数是从上到下以指数增长：
每个节点交换的次数，
从下往上就是：
那么总的交换次数 S(k) 就是两者相乘再相加：
这是一个等比等差数列，标准的求和方式就是错位相减法。
那么
两者相减得：
化简一下：
（不好意思我实在受不了这个编辑器了。。。
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所以 heapify() 时间复杂度是 O(n).
以上就是堆的三大重要操作，最后一个 heapify() 虽然不能直接操作，但是堆排序中用到了这种思路。
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