摘要
本文是对 Andrew Ng 在 Coursera 上的机器学习课程中 Backpropagation Algorithm 一小节的延伸。文章分三个部分：第一部分给出一个简单的神经网络模型和 Backpropagation（以下简称 BP）算法的具体流程。第二部分以分别计算第一层和第二层中的第一个参数（parameters，在神经网络中也称之为 weights）的梯度为例来解释 BP 算法流程，并给出了具体的推导过程。第三个部分采用了更加直观的图例来解释 BP 算法的工作流程。
注：1. 文中有大量公式，在 PC 或大屏移动设备下阅读排版更佳
2. 为了方便讨论，省去了 Bias unit，并在第二部分的讨论中省去了 cost function 的正则化项
3. 如果熟悉 Ng 课程中使用的字符标记，则推荐的阅读顺序为：第一、第三、第二部分
第一部分 BP 算法的具体过程
图 1.1 给出了一个简单的神经网络模型（省去了 Bias unit）：
图 1.1 一个简单的神经网络模型
其中字符标记含义与 Ng 课程中的一致：
x1,x2,x3x1,x2,x3 为输入值，也即 x(i)x(i)的三个特征；
z(l)jzj(l) 为第 l层的第 j 个单元的输入值。
a(l)jaj(l)为第l 层的第 j 个单元的输出值。其中 a = g(z)，g 为 sigmoid 函数。
Θ(l)ijΘij(l)第 l 层到 l+1 层的参数（权重）矩阵。
BP 算法的具体流程（Matlab 伪代码）
for i = m,
a(1)=x(i);a(1)=x(i);
使用前馈传播算法计算 a(2),a(3);a(2),a(3);
δ(3)=a(3)−y(i);δ(3)=a(3)−y(i);
δ(2)=(Θ(2))T∗δ(3).∗g′(z(2));δ(2)=(Θ(2))T∗δ(3).∗g′(z(2)); % 第 2 个运算符 ' .* ' 为点乘，即按元素操作
Δ(2)=Δ(2)+a(2)∗δ(3);Δ(2)=Δ(2)+a(2)∗δ(3);
Δ(1)=Δ(1)+a(1)∗δ(2);Δ(1)=Δ(1)+a(1)∗δ(2);
end;
第二部分 BP 算法步骤的详解与推导过程
BP 算法的目的在于为优化函数（比如梯度下降、其它的高级优化方法）提供梯度值，即使用 BP 算法计算代价函数（cost function）对每个参数的偏导值，其数学形式为：∂∂Θ(l)ijJ(Θ)∂∂Θij(l)J(Θ)，并最终得到的值存放在矩阵 Δ(l)Δ(l) 中。
若神经网络有 K 个输出（K classes），那么其 J(Θ) 为：
接下来，以计算 Θ(1)11,Θ(2)11Θ11(1),Θ11(2)为例来给出 BP 算法的详细步骤。对于单个训练用例，其代价函数为：
其中 hΘ(x)=a(l)=g(z(l))hΘ(x)=a(l)=g(z(l)), g 为 sigmoid 函数。
计算Θ(2)11Θ11(2)的梯度:
先取出式 2 中等号右边前两项，并将其记为 δ(3)1δ1(3)：
这里给出 δ(l)δ(l)的定义，即：
对式 3 进行详细计算，即将 J(Θ)J(Θ)对 z(3)1z1(3)求偏导（计算过程中简记为 z）：
其中用到了 sigmoid 函数的一个很好的性质：
这样便得到了Matlab中 BP 算法的第四行过程。
第三部分 BP 算法的直观图解
神经网络学习算法图概览
给定一个函数 f(x)，它的首要求导对象是什么？就是它的输入值，是自变量 x。那 f(g(x)) 呢？即把g(x) 当作一个整体作为它的输入值，它的自变量。那么 g(x) 这个整体就是它的首要求导对象。因此，一个函数的求导对象是它的输入值，是它的自变量。弄清楚这一点，才能在求多元函数偏导的链式法则中游刃有余。
图 3.1 自下而上，每一个框是上面一个框的输入值，也即上面一个框中函数的自变量。这张图明确了神经网络中各数据之间的关系——谁是谁的输入值，图中表现得非常清楚。上段提到一个函数的求导对象是它的输入值，那么通过图 3.1 就能非常方便地使用链式法则，也能清楚地观察到 BP 算法的流程（后面一个小节会给出一个更具体的 BP 流程图）。
对照文首给出的图 1.1 神经网络的模型图，应该很容易理解图 3.1 的含义，它大致地展现了神经网络的学习（训练）流程。前馈传播算法自下而上地向上计算，最终可以得到 a(3)a(3)，进一步可以计算得到 J(Θ)J(Θ)。而 BP 算法自顶向下，层层求偏导，最终得到了每个参数的梯度值。下面一个小节将仔细介绍本文的主题，即 BP 算法的流程图解。
图 3.1 神经网络学习算法概览
BP 算法的直观图解
图 3.2 给出了 BP 算法的计算流程，并附上了具体的计算步骤。BP 算法的流程在这张图中清晰可见：自顶向下（对应神经网络模型为自输出层向输入层）层层求偏导。因为神经网络的复杂性，人们总是深陷于求多元函数偏导的泥潭中无法自拔：到底该对哪个变量求导？图 3.2 理顺了神经网络中各数据点之间的关系，谁是谁的输入值，谁是谁的函数一清二楚，然后就可以畅快地使用链式法则了。
图3.2 BP 算法流程
所以 BP 算法即反向传播算法，就是自顶向下求代价函数 J(Θ)J(Θ)对各个参数 Θ(l)ijΘij(l) 偏导的过程，对应到神经网络模型中即自输出层向输入层层层求偏导。在图 3.2 中，当反向传播到 a(2)1a1(2)结点时，遇到分叉路口：选择对 Θ(2)11Θ11(2) 求偏导，即可得到第二层的参数梯度。而若选择对 a(2)1a1(2)这条路径继续向下求偏导，就可以继续向下（即输出层）传播，继续向下求偏导，最终可得到第一层的参数梯度，于是就实现了 BP 算法的目的。在选择分叉路口之前，使用 δ(l)δ(l)来保存到达分岔路口时的部分结果（本文的第二部分对 δ(l)δ(l) 做出了精确定义）。那么如果选择继续向下求偏导，则还可以使用这个部分结果继续向下逐层求偏导。从而避免了大量的重复计算，有效地提升了神经网络算法的学习速度。
因此可以观察到 BP 算法两个突出特点：
1) 自输出层向输入层（即反向传播），逐层求偏导，在这个过程中逐渐得到各个层的参数梯度。
2) 在反向传播过程中，使用 δ(l)δ(l)保存了部分结果，从而避免了大量的重复运算。
参考博客https://www.cnblogs.com/andywenzhi/p/7295262.html
个人感想：对于bp的推导，先画出框图，使分析过程更加清晰。
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