背景

硬件开源项目PlotClock，是一个很有趣的项目，通过控制两个舵机进行书写当前的时间。书写完成之后自行擦除，然后再书写，如此循环往复。

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项目在github上有相关的资料下载，包含代码和3D打印件的图纸，需要使用arduino作为控制器件。

阅读了源码，并在网上查阅了相关的教程文章，感觉把这个项目说的很透彻。如果要自己修改设计，又不想等比例放大原设计的情况下，各个部件的尺寸应该是多少？舵机的间距如何决定？可书写的范围如何确定？这些问题都没有答案。因此决定，彻底的对PlotClock的原理进行分析，从而回答以上的问题。

分析

小贱中工作时，通过转动舵机改变摆臂的角度，从而达到控制画笔位置的目的。那么，首先要解决的问题是根据目标位置，反向计算出舵机摆动的角度。解决了这个问题之后，我们可以根据要书写的内容，确定画笔的坐标，然后得到舵机的角度。通过控制舵机搬动到指定的角度，从而控制画笔进行书写。

有了以上的分析我们就可以将问题简化为，根据画笔坐标点T(Xt,Yt)，计算出两个舵机需要搬动的角度。

几何计算

为了方便后续的描述，首先为各摆臂部件命名，并为相关的数据进行命名。

直接连接舵机的摆臂，称为一级摆臂。连接左右舵机的一级摆臂长度相同，长度为L1。

连接在一级摆臂上的摆臂，称为二级摆臂。左右二级摆臂形状不同。左二级摆臂，由两部分组成，主摆臂以及延长的持笔夹。左二级摆臂的主摆臂与右二级摆臂长度相同，长度而L2。左二级摆臂延长的持笔夹长度为L3。

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左二级摆臂的主摆臂与延长持笔夹的夹角，角度为135度。

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定义好以上名称之后，我们就可以开始进行计算了。

我们以左侧舵机转轴为原点，构建直角坐标系。目标就是根据持笔夹的持笔位置坐标，计算出左右一级摆臂的角度。

假设笔的位置位于点T(Xt,Yt)，连接点T与原点O，得到辅助线段TO。TO与X轴的夹角为α1，TO与左一级摆臂的夹角为α2，左一级摆臂与X轴的夹角为α。如下图：

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这个α就是我们需要知道的角度。

在开始计算之前，先说明一下需要使用到的个公式，

公式1：勾股定理，在直角三角形中:

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公式2，任意三角形边长关系

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公式3，任意三角形中一直边长求角度的公式，有公式2推导，如果需要知道角A的角度可使用：

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有了以上的准备我们就可以开始进行相关的计算了

可计算α1的值

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可计算α2的值

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其中TO可计算

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最终求出角α的值
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到这里我们得到了左侧舵机的角度α

下边我们开始计算右侧舵机的角度。在计算之前我们需要先求出，左二级摆臂的主摆臂末端K与原点的距离KO。如下图所示：连接KO，连接T与左一级摆臂末端。由于T与一级摆臂末端的距离是固定不变的，在实际项目中可以通过测量得到。所以直接使用这个长度L4。

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为了求KO的距离我们，在一直L2、L1的情况下我们需要知道角β。通过分析，角β=β1-β2

可求β1为

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可求β2为

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获得β即可计算KO的值

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获得KO的值之后，我们可以连接K点和右舵机的轴点C，KC作为辅助线。

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已知L1、L2以及KO的情况下，可以计算角γ1。

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通过α和γ1可以计算角γ
γ = 180 - α - γ1

通过KO、OC的值以及角γ可以计算KC的长度

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通过KC、OC和KO可以获得θ1的角度

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通过KC、L1以及L2可以计算θ2的角度

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最终获得θ的角度

θ = 180 - θ1 - θ2

有了α和θ就可以确定舵机需要转动的角度。

最后梳理一下

摆臂相关的4个长度L1、L2、L3、L4，其中L1、L2、L3通过摆臂的规格参数可以获得。L4则需要通过测量获得。

两个舵机转动轴之间的距离OC，也需要通过测量获得。

由此，所有计算中所有需要使用到的输入参数都可以获得。

如果细心，可以发现左二级摆臂与持笔夹之间的夹角，并没有直接参与到计算过程中。实际上这个夹角会影响到L4的长度。

那么在实际制作的时候，L1、L2、L3、L4以及OC的数值取多少合适，他们的取值有什么约束以及影响呢？为什么PlotClock写的字都是歪歪扭扭的？这些问题，我们将在下一篇文章中进行讨论。