巧用补形法解决立体几何问题

作者: 天马无空 | 来源:发表于2021-03-17 10:39 被阅读0次

割与补的方法是数学中常用的一种独特方法。通过几何体的割补能发现未知几何体与已知几何体的内在联系。这种方法蕴含理一种构造思想，同时也反映理对立统一的辩证思想。因此，立体几何中运用割补法解题，特别是高考中的立体几何题很多可用割补法解，有时解起来还比较容易.

方法一补形法

用补形法解决立体几何问题

使用情景：用补形法解决立体几何问题
解题步骤：

第一步首先把不熟悉的或复杂的几何体延伸或补加成熟悉的或简单的几何体，把不完整的图形补成完整的图形；
第二步然后运用常见的几何体的表面积和体积等计算所求的结果；
第三步得出结论.

【例】．如图1， $E$ 、 $F$ 分别是矩形 $ABCD$ 的边 $AB$ 、 $CD$ 的中点， $G$ 是 $EF$ 上的一点，将 $△GAB$ 、 $△GCD$ 分别沿 $AB$ 、 $CD$ 翻折成 $△G_1AB$ ， $△G_2CD$ ，并连结 $G_1G_2$ ，使得平面 $G_1AB⊥$ 平面 $ABCD$ ， $G_1G_2∥AD$ ，且 $G_1G_2<AD$ ，连结 $BG_2$ ，如图2。

（Ⅰ）证明:平面 $G_1AB⊥$ 平面 $G_1ADG_2$
（Ⅱ）当 $AB=12$ ， $BC=25$ ， $EG=8$ 时，求直线 $BG_2$ 和平面 $G_1ADG_2$ 所成的角的正弦值。

【分析】

仔细观察图形和对照已知条件，依题意：面 $ABCD$ ，面 $ABG_1$ ，面 $EFG_2G_1$ ，面面互相垂直，通过补形可知图形是长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中的一部分。

【解析】

（Ⅰ） $∵G1G2∥AD$ ， $AD⊥$ 面 $G_1BA$ ， $G_1G_2 \subset$ 面 $G_1ADG_2$

$∴$ 平面 $G_1AB⊥$ 平面 $G_1ADG_2$ 。
（Ⅱ）长方体的三共点棱 $AB=12$ ， $BC=25$ ， $BB_1=8$ ，

又可推得 $FG_2=17$ ， $G_1G_2=10$ ， $BG_1=10$ ， $BG_2=10\sqrt{2}$ ， $EG_1=8$ ，

又面 $BAG_1⊥$ 面 $AG_1G_2$ ，割去长方体的其它部分只看三棱维 $G_2—G_1AB$ ，

如图，作 $BH⊥AG_1$ 于 $H$ ，连 $G_2H$ ，

可知 $∠BG_2H$ 为所求。

考虑 $△ABG_1$ 的面积有：

$\dfrac{1}{2}\cdot 12 \cdot 8=\dfrac{1}{2}\cdot 10 \cdot BH$

$∴ BH=\dfrac{48}{5}$ ，

于是 $\sin \angle BG_2H=\dfrac{48}{5\cdot 10\sqrt{2}}=\dfrac{12\sqrt{2}}{25}$ .

【总结】此题的关键在于根据已知条件构造长方体模型，并根据长方体模型对其进行求解．

方法二分割法

用分割法解决立体几何问题

使用情景：用分割法解决立体几何问题
解题步骤：

第一步首先把复杂的或不熟悉的几何体，割分为简单的或熟悉的几何体；
第二步然后运用常见的几何体的表面积和体积等计算所求的结果；
第三步得出结论.
【例】. 如图，正方体 $ABCD—A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $1$ ， $O$ 是底面 $A_1B_1C_1D_1$ 的中心，则 $O$ 到平面 $AC_1D_1$ 的距离为（）