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三.高数常用基础知识（1）

三.高数常用基础知识（1）

作者: 傻疯子 | 来源:发表于2022-01-13 23:58 被阅读0次

1.数列

（1）等差数列

常见形式为:1+2+\cdots+n=\frac{n(1+n)}{2}

（2）等比数列

前n项的公式和Sn= \begin{cases} na_1,&r=1, \\ \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}, & r\neq1. \end{cases}

常用1=r=r^2+\cdots+r^{n-1}=\frac{1-r^n}{1-r}(r\neq1)
若|r|<1\Rightarrow\sum_{n=1}^n r^{n-1}=\lim_{n \to \infty} \frac{1-r^n}{1-r}=\frac{1}{1-r}
记\sum_{n=1}^n r^{n-1}=\frac{1}{1-r} \quad |r|<1

\sum_{k=1}^nk^2=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

特别记忆：\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\cdots+\frac{1}{n\times (n+1)}+=\frac{n}{n+1}

另如果需要求收敛：先求单调（两项相减）再求界限（为方便计算可根据上下界适当放大或缩小）

2.三角函数

（1）了解三角函数基本关系

（2）诱导公式
常用八种诱导公式：
sin(\frac{\pi}{2}\pm\alpha)=cos\alpha
sin(\pi\pm\alpha)=\mp sin \alpha
cos(\frac{\pi}{2}\pm\alpha)=\pm sin\alpha
cos(\pi\pm\alpha)=- cos \alpha
可记住口诀：奇变偶不变，符号看象限

（3）了解三角函数值

（4）重要公式

倍角公式（将角度变为原来的一半）：
sin2\alpha=2sin\alpha cos\alpha
cos2\alpha=
sin3\alpha=
cos3\alpha=
tan2\alpha=
cot2\alpha=

半角公式（倍角公式反推即可）

和差公式
tan(\alpha \pm \beta)=\frac{tan\alpha \pm tan\beta}{1\mp tan\alpha tan\beta}
记:tan(\frac{\pi}{4}-x)=\frac{1-tanx}{1+tanx}

积化和差与和差化积相对不重要，可根据需要了解

万能公式

3.指数运算

4.对数运算法则

对于对数多项相乘、相除、开放、乘方视为对数求导法

如ln\frac{b}{a}=lnb-lna既可以把商的对数变为对数的减法，也可以凑拉格朗日中值定理所需条件。
另需知晓如果是连续不等式往往可以考虑可以用中值定理证明

需记ln(1+\frac{1}{x})=ln\frac{x+1}{x}=ln(x+1)-lnx

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