导数与微分

导数###

当自变量的增量趋于零时，因变量与自变量的增量之商的极限。当一个函数存在导数时，称为函数可导或可微分。

可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导。

• 概念
  一个变量随某个变量变化时的速度或变化率，假定变量y随变量x变化的函数关系为y = f(x),则y在点x处的导数即为y' = f'(x)

导数是变化量之比的极限

导数

其中△x代表在点x的增量 f(x+△x)代表点x在原有的基础上增加△x之后对应的y值
f(x+△x) - f(x)代表y随x新增△x之后对应的新增量，通过将y和x的新增量求商得到对应的变化率，随着因变量新增量无限趋近于0，对应的自增量的趋近于0.
一旦当这个极限是存在时那么即代表f(x)在x处可导或可微分。

微分###

主要解决直与曲的矛盾中产生的，在微小的局部可以用直线去近似替代曲线。

在数学中，微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。
微分思想即为一个线性近似的观念，利用几何的语言在函数曲线的局部，用直线来替代曲线，而线性函数总是比较容易进行数值计算的。可以将线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值。

• 定义
  假设函数在某区间内有定义，Xo及Xo+△x在这区间内，若函数的增量可表示△y=Α△x + o(△x),其中A是不依赖于△x的常量，是△x的高阶无穷小，则称函数在点x0可微。叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分。即为dy，是自变量改变量△x的线性函数。dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量，dy也被称作△y的线性主部：当△x->0时，△y≈dy。

若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。

微分.png

见上图 在x至x+h区间内，假设对应的曲线段用近似直线来代替；同时假设在此区间有一点x'以及其新增区间△x'（x'+△x'）,那么对应曲线y'=f(x'),以及f(x'+△x'),对应的增量：△y' = f(x'+△x') - f(x');近似直线新增量 dy'(x'+△x') - dy'
结果 |△y' - dy'| < |△y'| 随着△x'->0 对应的|△y' - dy'| 趋近于无限小

偏微分###

• 在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，称为常微分方程【微分方程或椭圆双曲线方程】
• 若是一个微分方程中出现多元函数的偏导数或未知函数和几个变量有关，而方程中出现未知函数对几个变量的导数即为偏微分。

偏微分方程本身是对同一类物理现象的共性，是作为解决问题的依据；定解条件却反映出具体问题的个性，它提出了问题的具体情况。偏微分方程理论研究一个方程（组）是否满足某些补充条件的解（解的存在性），有多少各界（解的唯一性或自由度），解的各种性质以及求解方法等等。