认识一种运算，就像认识一位朋友，从陌生到熟悉，到一起游戏，在儿童眼中它可能就是一位
一、带余数的除法的准确表达
学完表内除法之后，小贝壳已经能够解决100以内彻底的平均分问题，但若出现了剩余，又该如何处理呢？
我们来看看一个小贝壳是如何将10本书平均分给3个人的。
他的回答立马在班里激起了热烈的讨论。有人认为这样分没有任何问题，每个人得到的书的数量是一样多的，保证了平均分；有人认为虽然是平均分，但却没有将10本书彻底分完，所以不能叫把“10”本书平均分给3个人。最终大家一致认为把10本书平均分给3个人，每人有3本书，还剩下1本书，这1本书不能再分给3个人了，这才叫对10本书的平均分。
对10本书到底该如何分打成共识之后，孩子们结合刚才的讨论写出了相应的图形语言和符号语言。
既然是平均分活动，能用除法表示吗？
1号算式没有把剩余的1本书表示出来，这也是平均分活动的结果啊！2号算式虽然把每人得到的书的数量和剩余的书的数量表示了，但是等号两边并不成立；3号算式中最合理，但是数学符号语言中有文字总是感觉怪怪的，我们最好发明一个数学符号来代替“还剩”两个字。
于是我们发明了专门用来表示“剩余”的符号“……”。除法的横式终于可以成为我们的符号语言的一种了。
既然有了横式，能不能发明一个竖式来表示带余数的除法呢！孩子们做了各种各样的尝试。
竖式表达与横式表达不同的地方就是，竖式更能够清楚地告诉别人计算的过程。这几个竖式虽然都说清楚了每份的数量和剩余的数量，但不熟悉的人，会不懂这里的余数1到底是怎么来的，“1”与前面的这些数字又有什么关系。于是我们最终发明了这样一个帆船竖式，并结合具体情境解释了除法竖式中每个量的含义。
至此，带余数的除法运算，我们已经初步学会了用准确的文字语言，图形语言和符号语言来表示它的含义了。
当然新的运算表达方式必然会引起新的认知冲突！在是小贝壳们第一次书写除法竖式时的样子。
孩子们需要再次回到具体情境中，结合图形语言和文字语言的描述，像讲故事一样，理解除法的运算本质。在这个过程中他们自己就会笑起来：原来这格“帆船”就是除号，我不用再写一个了；没有拿走的部分我没有办法表示清楚剩余量；分给结果人是写在“帆船”外面的，就像开船的舵手；剩余量是0，也就是正好分完了，整除的问题也是可以用除法竖式表示的。
讨论的过程就是明晰的过程，是理解的过程，是重新唤醒已有观念，打破平衡并重组的过程，这样的“正确”才是有意义的。
二、带余数的除法算式中量之间的关系
作为新朋友，余数总要和其他量搞好关系。在数字盘中，小贝壳们发现了大秘密。
我们是要将一定数量的糖平均分给3个人，怎么还能剩下3颗糖呢？这不还可以继续平均分吗？
是啊，只要剩余的糖数比3颗多就可以继续平均分。
说明余数不能比除数大的。
如果把数字圆盘的中心变成“30÷？”你又有哪些新发现呢？
我发现总糖数不变，要分的人数越多，每个人分得的糖数就越少！
我觉得这两个算式也是有关系的，但还具体说不清楚。
不管是将30根小棒平均分成7份，还是平均分成4份，其实都会从整体中分走28根小棒，还剩下两根小棒，可以用同一个乘法算式——7×4＋2=30表示。
还可以用这样的集合图表示。
这样看带余数的除法运算就更清楚了，我们可以看成是将总数这个大集合拆分成两个小集合，一个集合表示分走的部分，一个集合表示剩余的部分。除数和商的乘积就是分走的部分。
一副数字树作品就可以清晰的表示带余数的除法中不同的量之间的关系。
三、带余数的除法观念应用
下面我们将要玩一个躲猫猫游戏：
余数躲起来了，我们该怎么找到它呢？
通过集合图可以更快的找到线索——
大集合减去分走的部分就是剩余的量——19－3×6
我们还可以玩其他量躲起来的游戏。
如果现在有两个量躲起来了，该怎么办？
我还是先看看集合图中的哪部分丢失了——总数不见了，分走的量只知道每份有几个，还知道剩余的量。
有两个未知量，我还是先确定其中一个量。如果先确定总数，并不能保证减去剩余的量之后一定能被6整除；如果先确定分给了几个人，我就可以先确定分走的量，这样加上剩余的量就可以唯一确定一个总数。
哇！我忘记了，除数和商是住在一个家里的，这真的是一个重大发现啊！
我们还可以玩任意其他两个量躲起来的游戏。
当然创造一个三个量躲起来的游戏也是没有问题的。
带余数的除法在生活中有应用吗？
当然有啦！租船时，并不能保证人数正好坐满几条船，可以会余下几个人，那就需要再租一条船；
买东西时，并不能保证钱数正好可以花完，可能会剩下一些钱不够再买一件东西了；
按照一定的规律摆小旗也是一个带余数的除法问题；
还有这种搭配组合题，也可以用带余数的除法解决，到底能包几束花是由能包最少花束的花决定的，我们把这种题叫做木桶题。
你们千万不要被这么多题搞得烟花缭乱，其实它们都是关于除法的包含除问题。
最后请欣赏一下我们的脑图制作吧！是不是比刚开学那会进步了少啊！
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