一、最细粒度推导支持向量机SVM

作者: 炼丹师_风酒 | 来源:发表于2019-04-23 09:39 被阅读0次

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一、优缺点

优点：泛化错误率低，计算开销不大，结果易解释。
缺点：对参数调节和核函数的选择敏感，原始分类器不加修改仅适用于处理二类问题。
适用数据类型：数值型和标称型数据。

二、简单解释

如果数据线性可分，则分，如果数据线性不可分，则升维（用核函数）后用面切分。

三、SVM

1.寻找超平面

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在平面上直线用 $y=ax+b \implies ax-y+b=0$ 表示。

在三维中平面用 $z=ax_1+bx_2+c\implies ax_1+bx_2-z+c=0$ 表示。

多维中用法向量 $w=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\...\\a_n\end{bmatrix}$ 来表示参数，决定超平面的方向， $x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\... \\x_n\end{bmatrix}$ 表示每一个维度。 $w^Tx = [a_1\;a_2...a_n]\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\... \\x_n\end{bmatrix}=a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n$ ，超平面表示为： $w^Tx+b=0$ ，参数 $b$ 决定了到原点的距离。

超平面把数据分成两类，上方数据点为 $w^Tx+b>0$ ，下方数据点 $w^Tx+b<0$ 。

如超平面是 $y=-2x+2(-2x-y+2=0)$ ，两个点 $P_1(1,1)、P_2(0,1)$ 分别位于直线上下。

$\begin{cases}(1,1)\implies-2\times1-1+2=-1<0\\(0,1)\implies-2\times0-1+2=1>0\end{cases}$ ，位于直线上两侧的点异号。SVM中正样本标签为1，负样本标签为-1。

目标函数就是最优超平面，用来分类，我们要求的就是 $w^T$ 和 $b$ ：
$\color{red}{w^Tx+b=0}$

2.寻找最大间隔

2.1 最大间隔

取两个中间没有数据点的超平面 $H_1:w^Tx+b=\delta \quad H_0:w^Tx+b=-\delta$ （一般 $\delta$ 取 $1$ ）此时目标函数的超平面 $w^Tx+b=0$ 正在这两个超平面的正中间。

于是寻找超平面转化为寻找这两个超平面，或者说两个超平面的最大间隔，间隔 $m$ 是求解 $w^T$ 和 $b$ 的关键。
$这两个超平面的限制条件是： \begin{cases} w^Tx+b\geq\delta & （y=1) \\[2ex] w^Tx+b\leq-\delta & (y=-1) \\ \end{cases} \implies y_i(w^Tx+b)\geqslant 1 \tag{2.1}$

2.2 $\delta$ =1的原因

$\begin{align} &平行线\begin{cases} \text{直线1：}wx + b_1 =0\\[2ex] \text{直线2：}wx + b_2 =0 \end{cases} \implies \text{中间线：}wx+b_1+\frac{b_2-b_1}{2}=0 \\[2ex] & t = b_2-b_1 \text{中间线：}wx+b_1+\frac{t}{2}=0 \\[2ex] & b_2 = t+b_1 \text{直线2：}wx+t+b_1=0 \\[2ex] &\begin{cases} \text{直线1：}wx + b_1 =0\\[2ex] \text{直线2：}wx+b_1+t=0\\[2ex] \text{中间线:：}wx+b_1+\frac{t}{2}=0 \end{cases} \implies\begin{cases} \text{直线1：}wx + b_1 +\frac t2=\frac t2\\[2ex] \text{直线2：}wx + b_1 +\frac t2=-\frac t2\\[2ex] \text{中间线:：}wx+b_1+\frac{t}{2}=0 \end{cases}\\[2ex] &\left.\begin{cases} \text{直线1：}wx + b_1 +\frac t2=\frac t2\\[2ex] \text{直线2：}wx + b_1 +\frac t2=-\frac t2\\[2ex] \text{中间线:：}wx+b_1+\frac{t}{2}=0 \end{cases} \right\}\times \frac2t= \begin{cases} \text{直线1：}\frac2twx + \frac2tb_1 +1=1\\[2ex] \text{直线2：}\frac2twx + \frac2tb_1 +1=-1\\[2ex] \text{中间线:：}\frac2twx+\frac2tb_1+1=0 \end{cases}\\[2ex] &令\frac2tw = W \quad \frac2tb+1=B\\[2ex] &\begin{cases} \text{直线1：}Wx + B =1\\[2ex] \text{直线2：}Wx + B=-1\\[2ex] \text{中间线:：}Wx+B=0 \end{cases}\\[2ex] &\therefore \text{平行线和中间线都可以写成上述方式} \end{align}$

2.3 投影

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$\begin{align} & \vec{u} = \langle u_1,u_2\rangle=\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix} \quad \vec{v} = \langle v_1,v_2\rangle=\begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix} \quad ||u||= |u| = \sqrt{u_1^2+u_2^2} \quad\text{(向量范数)} \\[2ex] & \vec{u}\cdot\vec{v}=|u||v| \cos{\theta}\\[2ex] & 投影proj_uv= (v\cos\theta)\frac{\vec{u}}{|u|} = \left(\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|u|}\right)\frac{\vec{u}}{|u|} = \frac{(\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{u}}{|u|^2}\\[2ex] & p=|proj_uv|=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|u|}\\[2ex] \end{align}$
详细可看向量方面的内容，不过多阐述。

2.4最大分隔上的点到超平面距离

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$\begin{align} \text{由第1个图}&\text{可以看出 }w^T\text{是超平面的法向量，垂直于超平面}\\[2ex] H_0\text{是最大}&\text{分隔，}H_1\text{是超平面，}x_0\text{是最大分隔上一点，}x_1\text{是}x_0\text{在超平面的投影} \vec{x_1x_0}\bot H_1\implies x_0x_1||w^T\\[2ex] |w^T\cdot\vec{x_0x_1}|&=|w^T||\vec{x_0x_1}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}\cdot m=||w^T||m \\[2ex] w^T\cdot\vec{x_0x_1}&=a_1(x_0−x_1)+a_2(x_0^2−x_1^2)+...+a_n(x_0^n-x_1^n) \\ & =a_1x_0+a_2x_0+...+a_nx_0-(a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n)\\ & =a_1x_0+a_2x_0+...+a_nx_0−(−b)\\ & =w^T\cdot x_0+b \\[2ex] |w^T\cdot\vec{x_0x_1}|&=|w^T\cdot x_0+b|=||w^T||m\\[4ex] m&=\frac{|w^T\cdot x_0+b|}{||w^T||} \end{align}$

2.5 最大分隔的间距

$\begin{align} &\text{上方最大分隔到超平面距离是：}m_1=\frac{|w^T\cdot x_1+b|}{||w^T||} \\[2ex] \because & \text{在上方最大分隔} \therefore w^T x_1+b =1 \\[2ex] \therefore & m_1=\frac{1}{||w^T||} \\[2ex] & \text{同理，下方最大分隔到超平面距离是：}m_2=\frac{-1}{||w^T||}\\[2ex] \therefore & m=m_1-m_2 = \frac{2}{||w^T||} \\[2ex] \because & ||w^T|| = ||w|| \quad\text{x,y交换长度不变}\\[2ex] \therefore & m= \frac{2}{||w||} \\[2ex] \end{align}$

3.SVM基本型

$\begin{align} & \max(m)\implies \max_{w,b}(\frac{2}{||w||})\\[2ex] & \max_{w,b}\frac{2}{||w||} \quad s.t. \;y_i(w^Tx_i+b)\geqslant 1 \quad(i=1,...,m) \\[2ex] & \color{red}{\min_{w,b}\frac12||w||^2 \quad s.t. \;y_i(w^Tx_i+b)\geqslant1 \quad(i=1,...,m)} \quad \quad 这是SVM的基本型 \tag{3.1} \end{align}$
也就是说要求解最大的间距，就得找出 $\min_{w,b}\frac12||w||^2$ 的解，而求解的条件包含在限制条件 $y_i(w^Tx_i+b)\geqslant1 $ 中。

4.软间隔和正则化

在求解 $\alpha $ 之前，修改下优化函数，使其允许小部分样本分错，增加其鲁棒性。

4.1代价函数

代价函数也叫损失函数，用来展示预测结果与实际结果的差异。
$\begin{align} & 使z=y_{i}(\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}_{i}+b)-1\\[2ex] & y_{i}(\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}_{i}+b)\geqslant1 \implies z\geqslant0 \quad预测正确\ell_{0/1}(z) =1 \\ & y_{i}(\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}_{i}+b)<1 \implies z<0 \quad预测错误\ell_{0/1}(z)=0 \\[2ex] & \ell_{0/1}(z)= \begin{cases} 0 &z\geqslant 0 & \text{预测正确,代价为0}\\[2ex] 1 &z<0 & \text{预测错误,代价为1} \end{cases} \end{align}$

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但是 $\ell_{0/1}$ 的连续性不好，我们使用如下连续性更好的函数，它们都有相似性质，我们关注 $z=1$ 附近的性质。

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$\begin{align} & \ell_{hinge}(z)=\max(0,1-z) & \text{hinge损失}\\[2ex] & \ell_{exp}(z)=e^{-z} & \text{指数损失}\\[2ex] & \ell_{log}(z)=\log(1+e^{-z}) &\text{对率损失}\\[2ex] \end{align}$

4.2软间隔

允许某些样本不满足（3.1）的约束 $y_i(w^Tx+b)\geqslant 1$ ，引入松弛变量 $\xi_i$ ， $\xi_i$ 就是上一节的代价函数，用来表示不满足条件的程度，按照性质 $\xi\geqslant0$ 。
$\begin{align} & y_i(w^Tx+b)\geqslant 1-\xi_i \\[2ex] &\xi_i = \ell_{hinge} = \max(0,1-y_{i}(\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}_{i}+b))\\[2ex] & \text{注意区别：} \begin{cases} \ell_{0/1}中z=y_{i}(\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}_{i}+b)-1 &\text{如果预测正确}z\geqslant 0\\[2ex] \ell_{hinge}中z=y_{i}(\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}_{i}+b) &\text{如果预测正确}z\geqslant 1\\ \end{cases}\\[2ex] & \text{同样，预测正确}\xi_i=\ell_{hinge}=0,\text{预测错误}\xi_i=\ell_{hinge}>0 \end{align}$
新的SVM基本型为：
$\color{red}{\min_{w,b}\frac{1}{2}\|\boldsymbol{w}\|^2+C\sum_{i=1}^{m} \xi_i \quad s.t.\; y_i(w^Tx_i+b)\geqslant 1-\xi_i \quad \xi_i\geqslant 0} \tag{4.1}\\$

预测正确的项 $\xi_i=0$ ，不会影响整体的值，预测错误才会有”惩罚“，影响最小化。

4.3 惩罚项系数 $C$

新的SVM基本型中的 $C$ 是惩罚项系数。
$\begin{align} & C\to\infty\text{（或一个很大的值）}\implies \text{一旦有错误预测，即}\xi_i>0\implies C\sum_{i=1}^{m} \xi_i\to \infty\\[2ex] & \text{要最小化SVM基本型，则要求所有预测正确，}y_{i}(\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}_{i}+b)-1\geqslant 0 \text{依旧是强制条件}\\[2ex] & C\to\infty\implies\frac{1}{2}\|\boldsymbol{w}\|^2+C\sum_{i=1}^{m} \xi_i\to\frac{1}{2}\|\boldsymbol{w}\|^2\\[2ex] & C\text{是有限值}\implies \text{才允许一些样本不满足约束} \\ \end{align}$

5.最小化SVM基本型

5.1拉格朗日乘子法

拉格朗日乘子法是用来求约束条件下，多元函数的极值。

若函数 $f(x,y,z)$ 的变量受约束 $g(x,y,z)=0$ 的限制，函数局部极值满足条件 $\nabla f= \lambda \nabla g$ 。
若函数 $f(x,y,z)$ 的变量受约束 $g(x,y,z)=0$ 和 $h(x,y,z)=0$ 的限制，函数极值局部极值满足条件 $\nabla f = \lambda \nabla g_1+\mu \nabla g_2$ 。

5.2KKT条件

在拉格朗日乘子法的基础上加入不等式条件限制，则用KKT条件求解局部极值。
$\begin{align} \begin{cases} \mit{Min}\; f(x) \\[2ex] st. h_i(x)=0 &i=0,1...,q \\[2ex] st. g_j(x)\leqslant 0 &j=0,1...,p \end{cases} \end{align}$
拉格朗日乘子法和KKT具体可以从数学中的多元函数部分了解，这里简单介绍和使用。

5.3 约束优化问题

$\min f(x) \quad s.t. \begin{cases} g_{i}(x)<0 &i=1,2, \ldots, q \\[2ex] h_{j}(x)=0 &j=1,2, \ldots, m \end{cases}\quad {x \in D}$

$f(x)$ 为目标函数， $g(x)$ 为不等式约束， $h(x)$ 为等式约束。

如果三者都是线性函数，则优化问题为线性规划，若任意一个为非线性函数，则为非线性规划。

如果目标函数为二次函数，约束全为线性函数，则为二次规划。

如果 $f(x)$ 为凸函数， $g(x)$ 为凸函数， $h(x)$ 为线性函数，则称该问题为凸优化。（如果 $g(x)\geqslant 0$ ）则为凹函数。

凸优化的任一局部极值点也是全局极值点，局部最优也是全局最优。

5.4最小化过程

SVM基本型（4.1）是凸二次规划问题，求解极值需要使用拉格朗日乘子法+KKT条件得其对偶问题。两个不等式条件为
$\begin{cases} y_i(w^Tx_i+b)\geqslant 1-\xi_i \implies y_i(w^Tx_i+b)+\xi_i-1\geqslant 0\\[2ex] \xi_i\geqslant 0 \end{cases}$
给每条约束添加乘子 $a_i\geqslant0 \quad \mu_i\geqslant0$ ，则拉格朗日函数是
$\begin{align} \color{red}{\mathcal{L}= \frac{1}{2}\|w\|^{2}+C\sum_{i=1}^{m} \xi_{i} -\sum_{i=1}^{m}\alpha_{i}\left(y_i(w^Tx_i+b)+\xi_i-1\right)-\sum_{i=1}^{m} \mu_{i} \xi_{i}}\tag{5.1} \end{align}$
对 $\boldsymbol{w}$ 、 $b$ 和 $\xi $ 分别求偏导数，它们都为0：
$\begin{align} & \frac{\partial L}{\partial w}=\frac{1}{2} \times 2 \times w+0- \sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} y_{i} x_{i}-0=0 \implies & w=\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} y_{i} x_{i} \tag{5.2}\\ & \frac{\partial L}{\partial b}=0+0-0-\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} y_{i} =0 \implies &\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} y_{i}=0 \tag{5.3}\\ & \frac{\partial L}{\partial \xi}=0+C-\alpha_i-\mu_i =0 \implies &C =\alpha_{i}+\mu_{i} \tag{5.4} \end{align}$
使用上述的条件，继续优化（5.1）
$\begin{align} \mathcal{L}&= \frac{1}{2}\|w\|^{2}+C\sum_{i=1}^{m} \xi_{i} -\sum_{i=1}^{m}\alpha_{i}(y_i(w^Tx_i+b)+\xi_i-1)-\sum_{i=1}^{m} \mu_{i} \xi_{i} \\[2ex] \langle代入（5.4）C =\alpha_{i}+\mu_{i}\rangle\quad & = \frac{1}{2}\|w\|^{2}+(\alpha_{i}+\mu_{i})\sum_{i=1}^{m} \xi_{i}-\sum_{i=1}^{m}\alpha_{i}(y_i(w^Tx_i+b)+\xi_i-1)-\sum_{i=1}^{m} \mu_{i} \xi_{i}\\[2ex] & = \frac{1}{2}\|w\|^{2}-\sum_{i=1}^{m}\alpha_{i}(y_i(w^Tx_i+b)+\xi_i-1)-\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} \xi_{i} \\[2ex] & = \frac{1}{2}\|w\|^{2}-\sum_{i=1}^{m}\alpha_{i}(y_i(w^Tx_i+b)-1)+\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} \xi_{i}-\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} \xi_{i} \\[2ex] & = \frac{1}{2}\|w\|^{2}-\sum_{i=1}^{m}\alpha_{i}(y_i(w^Tx_i+b)-1)\\[2ex] & = \frac{1}{2}\|w\|^{2}-\sum_{i=1}^{m}(\alpha_iy_iw^Tx_i+\alpha_iy_ib-\alpha_i)\\[2ex] \langle\|w\| =w^Tw\rangle\quad & = \frac{1}{2} w^T w -w^T\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} y_i x_i-b \sum_{i=1}^{m} \alpha_iy_i+\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} \\[2ex] \langle\text{代入（5.3）}\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} y_{i}=0\rangle \quad & =\frac{1}{2} w^T w -w^T\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} y_i x_i+\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} \\[2ex] \langle\text{代入（5.2）}w=\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} y_{i} x_{i}\rangle \quad & =\frac{1}{2} \left(\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} y_i x_i\right)^T \sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} y_i x_i-\left(\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} y_i x_i\right)^T\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} y_i x_i+\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} \\[2ex] & =-\frac{1}{2} \left(\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} y_i x_i\right)^T \sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} y_i x_i +\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} \\[2ex] &=-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} y_{i} x_{i}^{T} \sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} y_i x_i+\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} \\[2ex] &=\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} -\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m}\alpha_{i} y_{i} x_{i}^{T} \alpha_{j} y_j x_j\\[2ex] &=\sum_{i=1}^{m} \alpha_i-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m\alpha_i\alpha_j y_iy_j x_i^T x_j\\[2ex] \mathcal{L}&=\sum_{i=1}^{m}\alpha_i-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m \alpha_i\alpha_j y_iy_j x_i^T x_j\\[2ex] \end{align}$
优化下限制条件
$\begin{align} &\left.\begin{array}{l} &\alpha_{i}\geqslant 0\\[2ex] &\mu{i}\geqslant 0\\[2ex] &C =\alpha_{i}+\mu_{i}\\[2ex] \end{array}\right\}\implies 0\leqslant\alpha_i\leqslant C\\[2ex] &\quad\sum_{i=1}^m \alpha_i y_i=0\\[2ex] & \text{综合可知：} s.t.\quad 0\leqslant\alpha_i\leqslant C \quad \sum_{i=1}^m \alpha_i y_i=0 \end{align}\\$
最后可得（5.1）的对偶问题是
$\color{red}{\max\min\mathcal{L}=\max\sum_{i=1}^{m}\alpha_i-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m \alpha_i\alpha_j y_iy_j x_i^T x_j \quad s.t.\; 0\leqslant\alpha_i\leqslant C \quad \sum_{i=1}^m \alpha_i y_i=0} \tag{5.5}$

5.5目标函数

将（5.2）代入目标函数
$\color{red}{f(x) =w^{T} x+b =\sum_{i=1}^m\alpha_i y_i x_i^T x+b} \tag{5.6}$
上式中已经没有了 $w$ ，只和 $\alpha$ 与 $b$ 相关，我们试着去理解 $\alpha_i$ 的含义。
$\begin{align} & w=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\...\\a_n\end{bmatrix} 是多元函数每一元的系数\\ \end{align}$
系数代表超平面对该维度分割的程度。如下图， $x_1,x_2$ 的系数 $a,b$ 异号时,只看第一象限， $a,b$ 绝对值的大小决定第一象限如何被分割， $|a|=|b|$ 时，均匀分割， $|a|>|b|$ 靠近 $x_1$ 的区域大， $|a|<|b|$ 靠近 $x_2$ 的区域大，所以多元函数某元前的系数决定被分割时该元所占空间的比重。

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$\begin{align} &f(x) =\sum_{i=1}^m\alpha_i y_i x_i^T x+b\\[2ex] 忽略b,单看\sum_{i=1}^m\alpha_i y_i x_i^T &=\alpha_1y_1\begin{bmatrix} x_1^1\\ x_1^2\\ ...\\ x_1^n \end{bmatrix} +\alpha_2y_2\begin{bmatrix} x_2^1\\ x_2^2\\ ...\\ x_2^n \end{bmatrix}+...+ \alpha_my_m\begin{bmatrix} x_m^1\\ x_m^2\\ ...\\ x_m^n \end{bmatrix}\\[2ex] &= \begin{bmatrix} \alpha_1y_1x_1^1+\alpha_2y_2x_2^1+...+\alpha_my_mx_m^1\\ \alpha_1y_1x_1^2+\alpha_2y_2x_2^2+...+\alpha_my_mx_m^2\\ ...\\ \alpha_1y_1x_1^n+\alpha_2y_2x_2^n+...+\alpha_my_mx_m^n\\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix}\\[2ex] \end{align}$
前面是拉格朗日乘子 $\alpha$ ，后面是系数 $a$ （最后一项）， $x_m^n$ 表示第 $m$ 个样本第 $n$ 个特征, $y_m$ 表示第 $m$ 个样本的类别，以第一个系数 $a_1$ 为例，只取决于所有样本的第 $1$ 个特征，所有样本的类别，和所有的 $\alpha$ 。

6.SMO求解α

想要求解（5.5），这是一个二次规划问题，先固定先固定 $\alpha_i$ 之外的所有参数，然后求 $\alpha_i$ 上的极值，我们将 $\alpha_j$ 用 $\alpha_i$ 来表示。这种方法就是SMO（Sequential Minimal Optimizaion）序列最小化算法，将大优化问题分解成多个小优化问题求解。

于要满足（6.5）的条件， $\alpha$ 必须两两更新，否则 $\alpha_{i} y_{i}+\alpha_{j} y_{j}\neq \epsilon$ ，每次选择两个变量 $a_i$ 和 $a_j$ 并固定其他参数，在参数初始化后，SMO不断执行直到收敛。

6.1化简对偶问题

改变下 $\mathcal{L}$ 的形式，暴露出一对 $\alpha(\alpha_1$ 和 $\alpha_2)$ ：
$\begin{align} &方便求解将\alpha_i \alpha_j y_i y_j x_i^T x_j记为X\\[2ex] \mathcal{L} &=\sum_{i=1}^m \alpha_i-\frac12 \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m \alpha_i \alpha_j y_i y_j x_i^T x_j\\[2ex] &=\sum_{i=1}^m \alpha_i-\frac12 \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m X\\[2ex] &=\alpha_1+\alpha_2+\sum_{i=3}^m \alpha_i-\frac12 \sum_{i=1}^m\left(\sum_{j=1}^2 X+\sum_{j=3}^m X\right)\\[2ex] &=\alpha_1+\alpha_2+\sum_{i=3}^m \alpha_i-\frac12 \sum_{i=1}^2\left(\sum_{j=1}^2 X+\sum_{j=3}^m X\right)-\frac12 \sum_{i=3}^m\left(\sum_{j=1}^2 X+\sum_{j=3}^m X\right)\\[2ex] &=\alpha_1+\alpha_2+\sum_{i=3}^m \alpha_i-\frac12 \sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^2 X+\frac12\sum_{i=1}^2\sum_{j=3}^m X-\frac12\sum_{i=3}^m\sum_{j=1}^2 X-\frac12\sum_{i=3}^m\sum_{j=3}^m X\\[2ex] &=\alpha_{1}+\alpha_2+\sum_{i=3}^m \alpha_i-\frac12 \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 X-\sum_{i=1}^2 \sum_{j=3}^m X-\frac12 \sum_{i=3}^m \sum_{j=3}^m X\\[2ex] &=\alpha_{1}+\alpha_{2}-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{2} X-\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=3}^{m} X+\sum_{i=3}^{m} \alpha_{i}-\frac{1}{2} \sum_{i=3}^{m} \sum_{j=3}^{m} X\\[2ex] \langle将X代回，y_i^2=1\rangle\quad&=\alpha_{1}+\alpha_{2}-\frac{1}{2} \alpha_{1}^{2} x_{1}^{T} x_{1}-\frac{1}{2} \alpha_{2}^{2} x_{2}^{T} x_{2}-y_{1} y_{2} \alpha_{1} \alpha_{2} x_{2}^{T} x_{2}-y_{1} \alpha_{1} \sum_{j=3}^{m} \alpha_{j} y_{j} x_{1}^{T} x_{j}\\ &\quad-y_{2} \alpha_{2} \sum_{j=3}^{m} \alpha_{j} y_{j} x_{2}^{T} x_{j}+\sum_{i=3}^{m} \alpha_{i}-\frac{1}{2} \sum_{i=3}^{m} \sum_{j=3}^{m} y_{i} y_{j} \alpha_{i} \alpha_{j} x_{i}^{T} x_{j} \tag{6.1}\\ \hline & \because f(x) =w^T x+b =\sum_{i=1}^m \alpha_i y_i x_i^T x+b \\[2ex] & \therefore \text{设} \upsilon_i=\sum_{j=3}^m \alpha_j y_j x_i^Tx_j=f(x_i)-\sum_{j=1}^2 \alpha_j y_j x_i^T x_j-b \tag{6.2}\\[2ex] & \therefore \text{设} \beta=\sum_{i=3}^{m} \alpha_{i}-\frac{1}{2} \sum_{i=3}^{m} \sum_{j=3}^{m} y_{i} y_{j} \alpha_{i} \alpha_{j} x_{i}^{T} x_{j}\quad\beta\text{为常数}\tag{6.3}\\[2ex] \mathcal{L}&=\alpha_1+\alpha_2-\frac12 \alpha_1^2 x_1^T x_1-\frac12 \alpha_2^2 x_2^T x_2-y_1 y_2 \alpha_1 \alpha_2 x_1^T x_2-y_1 \alpha_1 v_1-y_2 \alpha_2 v_2+\beta\tag{6.4} \end{align}$

6.2找出 $α_1$ 和 $α_2$ 的关系

由于（5.5）的约束条件， $\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} y_{i}=0$ ，仅考虑 $\alpha_i$ 和 $\alpha_j$ ，将其他项移到等式右边，暴露出一对 $\alpha $ 。
$\begin{align} &\color{red}{\alpha_i y_i+\alpha_j y_j=\epsilon \quad (0\leqslant\alpha_i\leqslant C ,\;0\leqslant\alpha_j \leqslant C)} & \color{red}{\epsilon=-\sum_{k \neq i, j} \alpha_{k} y_{k} \text{为常数}} \tag{6.5}\\ & \text{推广：}\alpha_1 y_1+\alpha_2 y_2=\epsilon \end{align}$
用 $\alpha_2$ 来表示 $\alpha_1$ ， $\mathcal{L}$ 将化成用 $\alpha_2$ 表示的形式。
$\begin{align} \because & y_i=1或-1\quad y_j=1或-1\\[2ex] \therefore & y_i^2=1 \quad y_j^2=1 \quad y_i^2y_2^2=1\\[2ex] &\text{设}\color{red}{\gamma=\epsilon y_1 \quad \psi=y_1y_2}\\[2ex] & \alpha_1 y_1+\alpha_2 y_2=\epsilon\implies\alpha_1 y_1^2+\alpha_2 y_2y_1=\epsilon y_1 \tag{6.6}\\[2ex] & a_1=\epsilon y_{1}-\alpha_{2} y_{2}y_{1}\implies a_i=\gamma- \psi\alpha_{2} \tag{6.7}\\[2ex] \mathcal{L}&=\alpha_1+\alpha_2-\frac12 \alpha_1^2 x_1^T x_1-\frac12 \alpha_2^2 x_2^T x_2-y_1 y_2 \alpha_1 \alpha_2 x_1^T x_2-y_1 \alpha_1 v_1-y_2 \alpha_2 v_2+\beta \\[2ex] &=\gamma-\psi \alpha_2+\alpha_2-\frac12(\gamma-\psi \alpha_2)^2 x_1^T x_1-\frac12\alpha_2^2 x_2^T x_2-\psi(\gamma-\psi \alpha_2) \alpha_2 x_1^T x_2-y_1(\gamma-\psi \alpha_2) v_1-y_2 \alpha_2 v_2+\beta \\[2ex] \end{align}$
根据KKT条件，可知 $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial a_{2}}=0$ ，可以得出 $\alpha_2$ 的表达式
$\begin{align} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial a_{2}}&=-\psi+1+\gamma \psi x_{1}^{T} x_{1}-\alpha_{2} x_{1}^{T} x_{1}-\alpha_{2} x_{2}^{T} x_{2} -\gamma \psi x_{1}^{T} x_{2}+2 \alpha_{2} x_{1}^{T} x_{2}+y_{2} v_{1}-y_{2} v_{2}=0 \\[2ex] \alpha_{2}&=\frac{y_{2}(y_{2}-y_{1}+y_{1} \gamma(x_{1}^{T} x_{1}-x_{1}^{T} x_{2})+v_{1}-v_{2})}{x_{1}^{T} x_{1}+x_{2}^{T} x_{2}-2 x_{1}^{T} x_{2}} \end{align}$

6.3 更新前后 $α_2^\text{old}$ 与 $α_2^\text{new}$ 的关系

根据（6.5）我们就能找到更新前后的 $\alpha_2^\text{old}$ 与 $\alpha_2^\text{new}$ 的关系
$\alpha_1^\text{new} y_1+\alpha_2^\text{new} y_2=\alpha_1^\text{old}y_1+\alpha_2^\text{old} y_2=\epsilon$
求解 $\alpha_2^\text{old}$ 与 $\alpha_2^\text{new}$ 的具体关系
$\begin{align} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial a_2}&=-\psi+1+\gamma \psi x_1^T x_1-\alpha_2 x_1^T x_{1}-\alpha_2 x_2^T x_2 -\gamma \psi x_1^T x_2+2 \alpha_2 x_1^T x_2+y_2 v_1-y_2 v_2\\[2ex] &=-\alpha_2(x_1^T x_1+x_2^T x_2-2x_1^T x_2)-\psi+1+\gamma \psi x_1^T x_1-\gamma \psi x_1^T x_2+2 + y_2v_1 - y_2 v_2\\[2ex] \because & \psi=y_1y_2\\[2ex] \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial a_2}&=-\alpha_2(x_1^T x_1+x_2^T x_2-2x_1^T x_2)-y_1 y_2+1+\gamma y_1y_2 x_1^T x_1-\gamma y_1y_2 x_1^T x_2 + y_2v_1 - y_2 v_2\\[2ex] \because & \gamma=\epsilon y_1\\[2ex] \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial a_2}&=-\alpha_2(x_1^T x_1+x_2^T x_2-2x_1^T x_2)-y_1 y_2+1+\epsilon y_1^2y_2 x_1^T x_1 -\epsilon y_1^2y_2 x_1^T x_2+ y_2v_1 - y_2 v_2\\[2ex] &=-\alpha_2(x_1^T x_1+x_2^T x_2-2x_1^T x_2)-y_1 y_2+1+\epsilon y_2 x_1^T x_1 -\epsilon y_1^2y_2 x_1^T x_2+ y_2v_1 - y_2 v_2\\[2ex] \because & \epsilon=\alpha_1^\text{old}y_1+\alpha_2^\text{old}y_2\\[2ex] \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial a_2}&=-\alpha_2(x_1^T x_1+x_2^T x_2-2x_1^T x_2)-y_1 y_2+1\\ & +(\alpha_1^\text{old}y_1+\alpha_2^\text{old}y_2)y_2 x_1^T x_1-(\alpha_1^\text{old}y_1+\alpha_2^\text{old}y_2)y_2 x_1^T x_2 + y_2v_1 - y_2 v_2\\[2ex] \because & \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial a_2}=0\\[2ex] \therefore\alpha_2&(x_1^T x_1+x_2^T x_2-2x_1^T x_2)\\[2ex] &=-y_1 y_2+1+(\alpha_1^\text{old}y_1+\alpha_2^\text{old}y_2)y_2 x_1^T x_1-(\alpha_1^\text{old}y_1+\alpha_2^\text{old}y_2)y_2 x_1^T x_2 + y_2v_1 - y_2 v_2\\[2ex] &=-y_1 y_2+1+\alpha_1^\text{old}y_1y_2 x_1^T x_1+\alpha_2^\text{old}y_2^2 x_1^T x_1 -\alpha_1^\text{old}y_1y_2 x_1^T x_2-\alpha_2^\text{old}y_2^2 x_1^T x_2+ y_2v_1 - y_2 v_2\\[2ex] &=\alpha_2^\text{old}x_1^T x_1-\alpha_2^\text{old}x_1^T x_2 -y_1 y_2+1+\alpha_1^\text{old}y_1y_2 x_1^T x_1-\alpha_1^\text{old}y_1y_2 x_1^T x_2+ y_2v_1 - y_2 v_2\\[2ex] \because & 1=y_2^2\\[2ex] \therefore\alpha_2&(x_1^T x_1+x_2^T x_2-2x_1^T x_2)\\[2ex] &=\alpha_2^\text{old}x_1^T x_1-\alpha_2^\text{old}x_1^T x_2 -y_1 y_2+y_2^2+\alpha_1^\text{old}y_1y_2 x_1^T x_1-\alpha_1^\text{old}y_1y_2 x_1^T x_2+ y_2v_1 - y_2 v_2\\[2ex] \because & v_1=f(x_1)-\sum_{i=1}^2 \alpha_i y_i x_1^T x_i-b =f(x_1)-\alpha_1^\text{old} y_1 x_1^T x_1-\alpha_2^\text{old} y_2 x_1^T x_2-b\\ \because &v_2=f(x_2)-\sum_{i=1}^2 \alpha_i y_i x_2^T x_i-b =f(x_2)-\alpha_1^\text{old} y_1 x_2^T x_1-\alpha_2^\text{old} y_2 x_2^T x_2-b\\[2ex] \therefore\alpha_2&(x_1^T x_1+x_2^T x_2-2x_1^T x_2)\\[2ex] &=\alpha_2^\text{old}x_1^T x_1-\alpha_2^\text{old}x_1^T x_2 -y_1y_2+y_2^2+\alpha_1^\text{old}y_1y_2x_1^T x_1- \alpha_1^\text{old}y_1 y_2 x_1^T x_2\\[2ex] &\quad+y_2\left[f(x_1)-\alpha_1^\text{old} y_1 x_1^T x_1-\alpha_2^\text{old} y_2 x_1^T x_2-b\right]-y_2\left[f(x_2)-\alpha_1^\text{old} y_1 x_2^T x_1-\alpha_2^\text{old} y_2 x_2^T x_2-b\right]\\[2ex] &=\alpha_2^\text{old}x_1^T x_1-\alpha_2^\text{old}x_1^T x_2+\alpha_1^\text{old}y_1y_2 x_1^T x_1-\alpha_1^\text{old}y_1y_2 x_1^T x_2\\[2ex] &\quad+y_2\left[f(x_1)-y_1 -\alpha_1^\text{old} y_1 x_1^T x_1-\alpha_2^\text{old} y_2 x_1^T x_2-b\right]-y_2\left[f(x_2)-y_2-\alpha_1^\text{old} y_1 x_2^T x_1-\alpha_2^\text{old} y_2 x_2^T x_2-b\right]\\[2ex] &=\alpha_2^\text{old}x_1^T x_1-\alpha_2^\text{old}x_1^T x_2+\alpha_1^\text{old}y_1y_2 x_1^T x_1-\alpha_1^\text{old}y_1y_2 x_1^T x_2\\[2ex] &\quad+y_2\left[(f(x_1)-y_1) -(f(x_2)-y_2) \right]+y_2\left[-\alpha_1^\text{old} y_1 x_1^T x_1-\alpha_2^\text{old} y_2 x_1^T x_2+\alpha_1^\text{old} y_1 x_2^T x_1+\alpha_2^\text{old} y_2 x_2^T x_2\right]\\[2ex] &=\alpha_2^\text{old}x_1^T x_1-\alpha_2^\text{old}x_1^T x_2 +y_2\left[(f(x_1)-y_1) -(f(x_2)-y_2) \right]\\[2ex] &\quad+y_2\left[\alpha_1^\text{old}y_1 x_1^T x_1-\alpha_1^\text{old}y_1 x_1^T x_2-\alpha_1^\text{old} y_1 x_1^T x_1-\alpha_2^\text{old} y_2 x_1^T x_2+\alpha_1^\text{old} y_1 x_2^T x_1+\alpha_2^\text{old} y_2 x_2^T x_2\right]\\[2ex] &=\alpha_2^\text{old}x_1^T x_1-\alpha_2^\text{old}x_1^T x_2 +y_2\left[(f(x_1)-y_1) -(f(x_2)-y_2) \right]\\[2ex] &\quad+y_2\left[-\alpha_1^\text{old}y_1 x_1^T x_2-\alpha_2^\text{old} y_2 x_1^T x_2+\alpha_1^\text{old} y_1 x_2^T x_1+\alpha_2^\text{old} y_2 x_2^T x_2\right]\\[2ex] &=\alpha_2^\text{old}x_1^T x_1-\alpha_2^\text{old}x_1^T x_2-\alpha_1^\text{old}y_1y_2 x_1^T x_2-\alpha_2^\text{old} x_1^T x_2+\alpha_1^\text{old} y_1y_2 x_2^T x_1+\alpha_2^\text{old} x_2^T x_2\\[2ex] &\quad+y_2\left[(f(x_1)-y_1) -(f(x_2)-y_2) \right]\\[2ex] &=\alpha_2^\text{old}x_1^T x_1-2\alpha_2^\text{old} x_1^T x_2+\alpha_2^\text{old} x_2^T x_2-\alpha_1^\text{old}y_1y_2 x_1^T x_2+\alpha_1^\text{old} y_1y_2 x_2^T x_1\\[2ex] &\quad+y_2\left[(f(x_1)-y_1) -(f(x_2)-y_2) \right]\\[2ex] &\alpha_2(x_1^T x_1+x_2^T x_2-2x_1^T x_2) =\alpha_2^\text{old}(x_1^T x_1 + x_2^T x_2-2x_1^T x_2)+y_2\left[(f(x_1)-y_1) -(f(x_2)-y_2) \right]\\[2ex] &\alpha_2 =\alpha_2^\text{old}+\frac{y_2\left[(f(x_1)-y_1) -(f(x_2)-y_2) \right]}{x_1^T x_1+x_2^T x_2-2x_1^T x_2}\\[2ex] \end{align}$

6.4 学习速率和误差率

$\begin{align} &\text{设学习速率}\color{red}{\eta=x_1^T x_1+x_2^T x_2-2x_1^T x_2} \\[2ex] &\text{设误差项}\color{red}{E_i=f(x_i)-y_i=\sum_{i=1}^m \alpha_i y_i x_i^T x+b-y_i}\\[2ex] & \color{red}{\alpha_{2}^{\text {new }}=\alpha_{2}^{\text { old }}+\frac{y_{2}\left(E_{1}-E_{2}\right)}{\eta}} \\ \end{align}$

6.5 α更新条件

计算出一对 $\alpha$ 后，我们需要验证，是否所有点都分对了，如果不对，则成对更新 $\alpha $ ，条件如下：
$\left. \begin{array}{l} {\alpha_{i} \geqslant 0, \quad \mu_{i} \geqslant 0} \\[2ex] {y_{i} f\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)-1+\xi_{i} \geqslant 0} \\[2ex] {\alpha_{i}\left(y_{i} f\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)-1+\xi_{i}\right)=0} \\[2ex] {\xi_{i} \geqslant 0, \mu_{i} \xi_{i}=0} \end{array} \right\} \alpha_i=0 或 y_{i} f\left(x_{i}\right)-1+\xi_i = 0 至少一项成立 \tag{6.8}$
这反应了SVM的一个重要性质，训练完成后，大部分训练样本不需要保留，只需要保留支持向量。

然后根据条件，可得样本样本分类情况
$\begin{align} &\begin{cases} C =\alpha_{i}+\mu_{i}\\[2ex] \xi_{i} \geqslant 0\\[2ex] \mu_{i} \xi_{i}=0\\[2ex] \alpha_i=0\\[2ex] y_i f(x_i)-1+\xi_i = 0\\[2ex] \xi_i=\max(0,1-y_i(w^Tx_i+b))\\[2ex] \end{cases}\\[2ex] &\begin{cases} \begin{aligned} &\alpha_i=0 \\ &\text{不会对样本有影响} \end{aligned}\\[2ex] \begin{aligned} &\alpha_i>0 \implies y_{i} f\left(x_{i}\right) = 1-\xi_i\leqslant1\\ &\text{样本是支持向量} \end{aligned} \begin{cases} \begin{aligned} &\alpha_i<C\implies \mu_i>0 \implies \xi_i=0\implies y_{i} f\left(x_{i}\right) = 1\\ &\text{样本在最大间隔边界上} \end{aligned}\\[2ex] \alpha_i=C\implies \mu_i=0 \begin{cases} \begin{aligned} &0\leqslant\xi_i\leqslant1\implies 0\leqslant y_{i} f\left(x_{i}\right) = 1-\xi_i\leqslant1\\ &\text{样本在最大间隔内部} \end{aligned}\\[2ex] \begin{aligned} & \xi_i>1\implies y_{i} f\left(x_{i}\right) = 1-\xi_i<0\\ &\text{样本被错误分类} \end{aligned} \end{cases} \end{cases} \end{cases}\\[2ex] &\begin{cases} \alpha_{i}=0 & \Leftrightarrow y_{i} f(x_i) \geqslant 1 &不会对样本有影响 \\[2ex] 0<\alpha_{i}<C & \Leftrightarrow y_{i} f(x_i) =1 & 样本在最大间隔边界上\\[2ex] \alpha_{i}=C & \Leftrightarrow y_{i} f(x_i) \leqslant 1 & 样本在内部或被错误分类 \end{cases} \end{align}$
总结下上述条件，我们可以知道哪些情况的 $\alpha_i$ 不满足KKT条件，需要更新
$\begin{align} &\begin{cases} \alpha_{i}>0 & y_{i} f(x_i) > 1 \\[2ex] \alpha_{i}<C & y_{i} f(x_i) < 1 \end{cases}\tag{这些条件下需要更新}\\[2ex] &改变下写法\\[2ex] &y_iE_i=y_i(f(x_i)−y_i)=y_if(x_i)−1\\[2ex] &\color{red}{\begin{cases} \alpha_{i}>0 & y_{i} f(x_i) > 1\implies y_iE_i>1 \\[2ex] \alpha_{i}<C & y_{i} f(x_i) < 1 \implies y_iE_i<1 \end{cases}} \end{align}$

6.6 α的取值范围

对于更新后的 $\alpha$ ，同样有取值范围，先寻找 $\alpha$ 的限制条件。
$\begin{align} &\begin{cases} 0\leqslant\alpha_{i}\leqslant C\\ \alpha_{i} y_{i}+\alpha_{j} y_{j}=\epsilon\implies \begin{cases} \text{如果}y_1\neq y_2 （异号）\implies\alpha_1 -\alpha_2 =\epsilon\\ \text{如果}y_1= y_2 （同号）\implies\alpha_1 +\alpha_2 =\epsilon\\ \end{cases}\\[2ex] \end{cases}\\[2ex] \end{align}$

$\begin{align} 1&\text{设}\alpha_2\text{的取值范围为}L\leqslant\alpha_2\leqslant H \\[2ex] &\epsilon=-\sum_{k \neq i, j} \alpha_{k} y_{k} 为常数 \\[2ex]\hline & y_i \neq y_j \begin{cases} &\alpha_1-\alpha_2=\epsilon\implies \alpha_1=\alpha_2+\epsilon\\[2ex] &\alpha_2-\alpha_1=\epsilon\implies \alpha_1=\alpha_2-\epsilon\\[2ex] \end{cases}\\[2ex] &\left.\begin{array}{l} 0\leqslant\alpha_2+\epsilon\leqslant C\\[2ex] 0\leqslant\alpha_2-\epsilon\leqslant C\\[2ex] 0\leqslant\alpha_1\leqslant C\\[2ex] 0\leqslant\alpha_2\leqslant C\\[2ex] \end{array}\right\}\implies \color{red}{\begin{cases} L=\max(0,-\epsilon )\\[2ex] H=\min(C,C-\epsilon ) \end{cases}}\\[2ex] \hline & y_i = y_j \begin{cases} &\alpha_1+\alpha_2=\epsilon\implies \alpha_1=-\alpha_2+\epsilon\\[2ex] &-\alpha_1-\alpha_2=\epsilon\implies \alpha_1=-\alpha_2-\epsilon\\[2ex] \end{cases}\\[2ex] &\left.\begin{array}{l} 0\leqslant-\alpha_2+\epsilon\leqslant C\\[2ex] 0\leqslant-\alpha_2-\epsilon\leqslant C\\[2ex] 0\leqslant\alpha_1\leqslant C\\[2ex] 0\leqslant\alpha_2\leqslant C\\[2ex] \end{array}\right\} \implies \color{red}{\begin{cases} L=\max(0,\epsilon -C)\\[2ex] H=\max(C,\epsilon) \end{cases}} \end{align}$
根据 $\alpha $ 的取值范围，如果更新后大于最大值，则取最大值；更新后小于最小值，则取最小值。
$\begin{align} \alpha_2^\text{new}= \begin{cases} {H} & {\alpha_2^\text{temp}>H} \\[2ex] {\alpha_{2}^\text{temp}} & {L \leq \alpha_{2}^{\text{temp}} \leq H} \\[2ex] {L} & {\alpha_{2}^{\text{temp}}<L} \end{cases} \end{align}$
通过（6.5）的推广更新 $\alpha_2$ 后可以再更新 $\alpha_1$ 。
$\begin{align} &\begin{cases} \alpha_{1}^{\text{old}} =\gamma-\psi \alpha_{2}^\text{old} \\[2ex] \alpha_{1}^{\text{new}} =\gamma-\psi \alpha_{2}^\text{new} \end{cases} \implies \alpha_1^\text{new}=\alpha_1^\text{old}+\psi \alpha_2^\text{old}-\psi \alpha_{2}^\text{new}\\[2ex] &\because \psi=y_iy_j \\[2ex] &\color{red}{\alpha_1^\text{new}=\alpha_1^\text{old}+y_{1} y_{2}\left(\alpha_{2}^{\text{old}}-\alpha_2^\text{new}\right)}\\ \end{align}$

7.求解 $b$

求出 $\alpha$ 后，需要求解 $b$ 。

更新 $\alpha_i$ 后需要更新 $b$ （ $b$ 影响 $f(x)$ 的值，从而影响 $E_i$ 的值），使间隔最大。
$\begin{align} &0< \alpha_1 < C \implies y_1 f(x_1)=y_{1}(w^T x_1+b)=y_1(\sum_{i=1}^m \alpha_i y_i x_i^T x_1+b)=1\quad\text{样本是支持向量}\\ &y_1^2(\sum_{i=1}^n \alpha_i y_i x_i x_1+b)=y_1\\ &y_1^2=1 \implies \sum_{i=1}^n \alpha_i y_i x_i x_1+b = y_1\\ &b_1^\text{new}=y_1-\sum_{i=3}^m \alpha_i y_i x_i^T x_1-\alpha_1^\text{new} y_1 x_1^T x_1-\alpha_2^\text{new} y_2 x_2 x_1 \\ &E_1=\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} y_{i} \boldsymbol{x}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x_1}+b-y_1\\ &y_1=-E_1+\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} y_{i} \boldsymbol{x}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x_1}+b\\ &y_{1}-\sum_{i=3}^{m} \alpha_{i} y_{i} \boldsymbol{x}_{i}^{T} \boldsymbol{x}_{1}=-E_1+\sum_{i=1}^{2} \alpha_{i} y_{i} \boldsymbol{x}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x_1}+b=-E_{1}+\alpha_{1}^{\text { old }} y_{1} \boldsymbol{x}_{1}^{T} \boldsymbol{x}_{1}+\alpha_{2}^{\text { old }} y_{2} \boldsymbol{x}_{2}^{T} \boldsymbol{x}_{1}+b^{\text { old }}\\ & \color{red}{ \begin{cases} b_{1}^{n e w}=b^{o l d}-E_{1}-y_{1}\left(\alpha_{1}^{n e w}-\alpha_{1}^{\text { old }}\right) x_{1}^{T} x_{1}-y_{2}\left(\alpha_{2}^{n e w}-\alpha_{2}^{\text { old }}\right) x_{2}^{T} x_{1} \\[2ex] b_{2}^{n e w}=b^{o l d}-E_{2}-y_{1}\left(\alpha_{1}^{n e w}-\alpha_{1}^{\text { old }}\right) x_{1}^{T} x_{2}-y_{2}\left(\alpha_{2}^{n e w}-\alpha_{2}^{\text { old }}\right) x_{2}^{T} x_{2} \end{cases}} \end{align}$
当 $b_1$ 和 $b_2$ 都有效时，相等
$b^{\text { new }}=b_{1}^{\text { new }}=b_{2}^{\text {new}}$
当两个乘子都在边界上，则b和KKT条件一致。当不满足的时候，SMO算法选择他们的中点作为新的阈值
$b= \begin{cases} b_{1}, & {0<\alpha_{1}^{n e w}<C} \\ b_{2} & {0<\alpha_{2}^{n e w}<C} \\ {\left(b_{1}+b_{2}\right) / 2} & {\text { otherwise }} \end{cases}$

参考：

周志华《机器学习》第六章支持向量机
托马斯《托马斯微积分》11.多元函数及其导数
Jack Cui《机器学习实战教程（九）：支持向量机实战篇之再撕非线性SVM》https://cuijiahua.com/blog/2017/11/ml_9_svm_2.html
机器之心《学习SVM，这篇文章就够了！》https://www.jiqizhixin.com/articles/2018-10-17-20
donyzh《SVM关于Platt文章中SMO求解参数的具体推导过程》https://blog.csdn.net/donyzh/article/details/78196827

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