水平的描述
- 平均数(mean)
也称为均值,常用的统计量之一。消除了观测值的随机波动,但易受极端值的影响。
根据总体数据计算的,称为平均数,记为μ;根据样本数据计算的,称为样本平均数,记为 x‾
数据对称分布或接近对称分布时代表性较好 - 中位数和分位数
排序后处于中间位置上的值。不受极端值影响。位置确定,中位数位置=(n+1)/2;数值确定;
数据分布偏斜程度较大时代表性较好 -
四分位数—用3个点等分数据(quartile)
排序后处于25%和75%位置上的值,不受极端值的影响
- 众数(mode)
一组数据中出现次数最多的变量值。适合于数据量较多时使用,不受极端值的影响,
一组数据可能没有众数或有几个众数,数据分布偏斜程度较大且有明显峰值时代表性较好
差异的描述
- 极差(range)
一组数据的最大值与最小值之差,离散程度的最简单测度值。易受极端值影响,未考虑数据的分布
计算公式为:R = max(xi) - min(xi) - 四分位差(quartile deviation)
也称为内距或四分间距
上四分位数与下四分位数之差:Qd= QU – QL
反映了中间50%数据的离散程度,不受极端值的影响。用于衡量中位数的代表性 - 方差和标准差(variance and standard deviation)
数据离散程度的最常用测度值,反映各变量值与均值的平均差异。
根据总体数据计算的,称为总体方差(标准差),记为σ2(σ);根据样本数据计算的,称为样本方差(标准差),记为s2(s)
- 变异系数(coefficient of variation)
标准差与其相应的均值之比,对数据相对离散程度的测度。消除了数据水平高低和计量单位的影响
用于对不同组别数据离散程度的比较,计算公式为:vs=s/x¯ -
标准得分
用于对变量的标准化处理,也就是把一组数据转化为平均数为0,标准差为1的新数据。计算公式为:
也称标准化值,对某一个值在一组数据中相对位置的度量,可用于判断一组数据是否有离群点(outlier)
-
经验法则表明:当一组数据对称分布时
约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之内
约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内
约有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内 - 如果一组数据不是对称分布,经验法则就不再适用,这时可使用切比雪夫不等式(Chebyshev’s inequality),它对任何分布形状的数据都适用。切比雪夫不等式提供的是“下界”,也就是“所占比例至少是多少”
对于任意分布形态的数据,根据切比雪夫不等式,至少有1-1/k2的数据落在平均数加减k个标准差之内。其中k是大于1的任意值,但不一定是整数- 对于k=2,3,4,该不等式的含义是
至少有75%的数据落在平均数加减2个标准差的范围之内
至少有89%的数据落在平均数加减3个标准差的范围之内
至少有94%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内
- 对于k=2,3,4,该不等式的含义是
分布形状的度量
- 偏态(skewness)
统计学家K.Pearson于1895年首次提出。是指数据分布的不对称性。
测量数据分布不对称性的统计量称为偏度系数(coefficient of skewness),记作SK
偏度系数=0为对称分布;>0为右偏分布;<0为左偏分布
偏度系数大于1或小于-1,为高度偏态分布;偏度系数在0.5~1或-1~-0.5之间,为是中等偏态分布;偏度系数越接近0,偏斜程度就越低。计算公式为: - 峰度(kurtosis)
统计学家K.Pearson于1905年首次提出。数据分布峰值的高低 。测度统计量是峰态系数(coefficient of kurtosis)
峰态系数=0扁平峰度适中;峰态系数<0为扁平分布;峰态系数>0为尖峰分布
计算公式:
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