z 变换

作者: seniusen | 来源:发表于2018-11-05 20:04 被阅读11次

1. z 变换

单位脉冲响应为 $h[n]$ 的离散时间线性时不变系统对复指数输入 $z^n$ 的响应 $y[n]$ 为

$\tag{1} y[n] = H(z) z^{n}$

式中 $H(z)$ 是一个复常数，为

$\tag 2 H[z] =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}h[n]z^{-n}$

若 $z=e^{j\omega}$ ，这里 $\omega$ 为实数（即， $|z|=1$ ），则（2）式的求和式就是 $h[n]$ 的离散时间傅里叶变换。在更为一般的情况下，当 $|z|$ 不限制为 1 的时候，（2）式就称为 $h[n]$ 的 $z$ 变换。

一个离散时间信号 $x[n]$ 的 $z$ 变换定义为

$\tag 3 \boxed{X(z) \overset{\triangle}{=}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]z^{-n}}$

若将复变量 $z$ 表示成极坐标形式

$\tag{4} z = r e^{j\omega}$

用 $r$ 表示 $z$ 的模，而用 $\omega$ 表示它的相角。利用 $r$ 和 $\omega$ ，（3）式就变为

$\tag 5 X(r e^{j\omega}) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n](r e^{j\omega})^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\{x[n]r^{-n}\} e^{-j\omega n}$

由此可见， $X(r e^{j\omega})$ 就是序列 $x[n]$ 乘以实指数 $r^{-n}$ 后的傅里叶变换，即

$\tag 6 X(r e^{j\omega}) =\displaystyle \mathcal F\{x[n]r^{-n}\}$

在 $z$ 变换中当变换变量 $z$ 的模为 1 时，即 $z=e^{j\omega}$ ， $z$ 变换就演变为傅里叶变换。于是，傅里叶变换就成为在复数 $z$ 平面中，半径为 1 的圆上的 $z$ 变换。在 $z$ 平面上，这个圆称为单位圆。

一般来说，对于某一序列的 $z$ 变换，存在着某一个 $z$ 值的范围，对该范围内的 $z$ ， $X(z)$ 收敛，这样一些值的范围就称为收敛域（ROC）。如果 ROC 包括单位圆，则傅里叶变换也收敛。

例 1
例 2

2. $z$ 变换的收敛域

性质 1： $X(z)$ 的 $ROC$ 是在 $z$ 平面上以原点为中心的圆环。

性质 2： $ROC$ 内不包含任何极点。

性质 3：如果 $x[n]$ 是有限长序列，那么 $ROC$ 就是整个 $z$ 平面，可能除去 $z=0$ 和/或 $z=\infty$ 。

性质 4：如果 $x[n]$ 是一个右边序列，并且 $|z|=r_0$ 的圆位于 $ROC$ 内，那么 $|z|>r_0$ 的全部有限 $z$ 值都一定在这个 $ROC$ 内。

性质 5：如果 $x[n]$ 是一个左边序列，并且 $|z|=r_0$ 的圆位于 $ROC$ 内，那么 $0< |z| < r_0$ 的全部 $z$ 值都一定在这个 $ROC$ 内。

性质 6：如果 $x[n]$ 是双边序列，并且 $|z|=r_0$ 的圆位于 $ROC$ 内，那么该 $ROC$ 一定是由包括 $|z|=r_0$ 的圆环所组成。

性质 7：如果 $x[n]$ 的 $z$ 变换 $X(z)$ 是有理的，那么它的 $ROC$ 就被极点所界定，或者延伸到无限远。

性质 8：如果 $x[n]$ 的 $z$ 变换 $X(z)$ 是有理的，而且若 $x[n]$ 是右边序列，那么， $ROC$ 就位于 $z$ 平面内最外层极点的外边；也就是半径等于 $X(z)$ 极点中最大模值的圆的外边。而且，若 $x[n]$ 是因果序列（即 $x[n]$ 为 $n<0$ 等于 $0$ 的右边序列），那么， $ROC$ 也包括 $z=\infty$ 。

性质 9：如果 $x[n]$ 的 $z$ 变换 $X(z)$ 是有理的，而且若 $x[n]$ 是左边序列，那么， $ROC$ 就位于 $z$ 平面内最里层的非零极点的里边；也就是半径等于 $X(z)$ 中除去 $z=0$ 的极点中最小模值的圆的里边，并且向内延伸到可能包括 $z=0$ 。特别地，若 $x[n]$ 是反因果序列（即 $x[n]$ 为 $n>0$ 等于 $0$ 的左边序列），那么， $ROC$ 也包括 $z=0$ 。

3. $z$ 反变换

对（6）式两边进行傅里叶反变换可得

$\tag 7 \displaystyle \mathcal F^{-1}X(r e^{j\omega}) =x[n]r^{-n}$

因此

$\tag 8 x[n] = r^{n} \displaystyle \mathcal F^{-1}X(r e^{j\omega}) = r^{n} \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi}X(r e^{j\omega}) e^{j\omega n}d\omega$

将 $r^n$ 的指数因子移进积分号内，则有

$\tag 9 x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi}X(r e^{j\omega}) (re^{j\omega})^ nd\omega$

也就是说，将 $z$ 变换沿着在 $ROC$ 内 $z=re^{j\omega}$ ， $r$ 固定而 $\omega$ 在一个 $2\pi$ 区间内变化的闭合围线上求值，就能将 $x[n]$ 恢复出来。

现在将积分变量从 $\omega$ 改为 $z$ 。由于 $z=re^{j\omega}$ ， $r$ 固定， $dz=jre^{j\omega}d\omega=jzd\omega$ ，或者 $d\omega=(1/j)z^{-1}dz$ 。这样，（9）式中在 $\omega$ 的 $2\pi$ 区间的积分，利用 $z$ 以后，就对应于变量 $z$ 在环绕 $|z|=r$ 的圆上一周的积分。

$\tag{10} x[n] = \frac{1}{2\pi j} \oint X(z) z^ {n-1}dz$

式中， $\oint$ 记为在半径为 $r$ ，以原点为中心的封闭圆上沿逆时针方向环绕一周的积分。 $r$ 的值可选为使 $X(z)$ 收敛的任何值，也就是使 $|z|=r$ 的积分围线位于 $ROC$ 的任何值。

确定 $z$ 反变换的一种方法就是先进行部分分式展开，然后逐项求其反变换。

这种方法依赖于将 $X(z)$ 展开成如下形式的部分分式：

$\tag{11} X(z) = \sum_{i=1}^{m} \frac{A_i}{1-a_iz^{-1}}$

若 $X(z)$ 的 $ROC$ 是位于极点 $z=a_i$ 的外边，那么其对应项的反变换就是 $A_i a_i^n u[n]$ ；另一方面，若 $X(z)$ 的 $ROC$ 是位于极点 $z=a_i$ 的里面，那么对应项的反变换就是 $-A_i a_i^n u[-n-1]$ 。

确定 $z$ 反变换的另一种方法是建立在 $X(z)$ 的幂级数展开的基础之上。由 $X(z) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]z^{-n}$ 可知，实际上 $z$ 变换就是涉及 $z$ 的正幂和负幂的一个幂级数，这个幂级数的系数就是序列值 $x[n]$ 。

用幂级数展开法来求 $z$ 反变换对非有理的 $z$ 变换式特别有用。

4. $z$ 变换的性质

4.1. 线性

若

$x_1[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X_1(z) \quad ROC=R_1$

和

$x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X_2(z) \quad ROC=R_2$

则

$\tag{12} \boxed{ ax_1[n]+bx_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} aX_1(z)+bX_2(z) \quad ROC \space包括 \space R_1 \cap R_2}$

4.2. 时移性质

若

$x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R$

则

$\tag{13} \boxed{ x[n-n_0] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} z^{-n_0}X(z) \quad ROC=R \space 原点或无限远点可能加上或除掉}$

4.3. $z$ 域尺度变换

若

$x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R$

则

$\tag{14} \boxed{ z_0^nx[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(\frac{z}{z_0}) \quad ROC=|z_0|R }$

这就是说，若 $z$ 是在 $X(z)$ 的 $ROC$ 内的一点，那么点 $|z_0|z$ 就在 $X(z/z_0)$ 的 $ROC$ 内。

4.4. 时间反转

若

$x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R$

则

$\tag{15} \boxed{ x[-n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(\frac{1}{z}) \quad ROC=\frac{1}{R} }$

这就是说，若 $z_0$ 是在 $x[n]$ 的 $z$ 变换 $ROC$ 内，那么点 $1/z_0$ 就在 $x[-n]$ 的 $z$ 变换 $ROC$ 内。

4.5. 时间扩展

若令 $k$ 是一个正整数，并且定义

$\tag{16} x_{(k)}[n] = \begin{cases} x[n/k] &\text 当\space n \space为\space k\space的整数倍 \\ 0, &\text 当\space n \space不为\space k\space的整数倍 \end{cases}$

若

$x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R$

则

$\tag{17} \boxed{ x_{(k)}[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z^k) \quad ROC=R^{1/k} }$

这就是说，若 $z$ 是在 $X(z)$ 的 $ROC$ 内，那么点 $z^{1/k}$ 就在 $X(z^k)$ 的 $ROC$ 内。

4.6. 共轭

若

$x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R$

则

$\tag{18} \boxed{ x^*[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X^*(z^*) \quad ROC=R }$

4.7. 卷积性质

若

$x_1[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X_1(z) \quad ROC=R_1$

和

$x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X_2(z) \quad ROC=R_2$

则

$\tag{19} \boxed{ x_1[n] * x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X_1(z)X_2(z) \quad ROC \space包括 \space R_1 \cap R_2}$

4.8. $z$ 域微分

若

$x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} X(z) \quad ROC=R$

则

$\tag{20} \boxed{ nx[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {z}}}}{\leftrightarrow} -z\frac{dX(z)}{dz} \quad ROC=R }$

4.9. 初值定理

若 $n <0, x[n]=0$ ，则

$\tag{21} x[0] = \lim_{z\to \infty}X(z)$

4.10. 终值定理

若 $n <0, x[n]=0$ ，其 $z$ 变换的极点，除可以有一个一阶极点在 $z=1$ 上，其它极点均在单位圆内，则

$\tag{21} \lim_{n\to \infty}x[n] = \lim_{z\to 1}(z-1)X(z)$

4.11. 性质小结

4.12. 几个常用的 $z$ 变换对

5. 利用 $z$ 变换分析与表征线性时不变系统

在离散时间 $LTI$ 系统的分析和表示中， $z$ 变换有其特别重要的作用，由卷积性质可得

$\tag{23} Y(z) = H(z) X(z)$

式中 $X(z)、Y(z) 、H(z)$ 分别是系统输入、输出和单位脉冲响应的 $z$ 变换。 $H(z)$ 称为系统的系统函数或转移函数。

5.1. 因果性

一个因果 $LTI$ 系统其单位脉冲响应 $h[n]$ 是对于 $n<0，h[n] = 0$ ，因此是一个右边序列。由性质 4 知道 $H(z)$ 的 $ROC$ 是位于 $z$ 平面内某一个圆的外边。由性质 8 可知，对于一个因果序列，这个幂级数中，

$\tag{24} H(z) =\sum_{n=0}^{\infty}h[n]z^{-n}$

不包含任何 $z$ 的正幂次项，因此 $ROC$ 包括无限远点。综上所述，就得出如下属性：

一个离散时间 $LTI$ 系统当且仅当它的系统函数的 $ROC$ 是在某一个圆的外边，且包括无限远点，该系统就是因果的。

如果 $H(z)$ 是有理的，那么该系统要是因果的，其 $ROC$ 必须位于最外层极点的外边，且无限远点必须在 $ROC$ 内；等效地说，随 $z\to \infty$ 时， $H(z)$ 的极限必须是有限的。这就等效于，当 $H(z)$ 的分子和分母都是表示成的 $z$ 的多项式时，其分子的阶次不会大于分母的阶次。即

一个具有有理系统函数 $H(z)$ 的 $LTI$ 系统要是因果的，当且仅当：(1) $ROC$ 位于最外层极点某一个圆的外面；和 (2) 若 $H(z)$ 表示成 $z$ 的多项式之比，其分子的阶次不能大于分母的阶次。

5.2. 稳定性

一个离散时间 $LTI$ 系统的稳定性就等效于它的单位脉冲响应是绝对可和的，在这种情况下， $h[n]$ 的傅里叶变换收敛，结果就是 $H(z)$ 的 $ROC$ 必须包括单位圆。综上所述，可得如下结果：

一个 $LTI$ 系统当且仅当它的系统函数 $H(z)$ 的 $ROC$ 包括单位圆，该系统就是稳定的。

对于一个具有有理系统函数的因果系统而言， $ROC$ 位于最外层极点的外边。对于这个包括单位圆的 $ROC$ ，系统的全部极点都必须位于单位圆内，即

一个具有有理系统函数的因果 $LTI$ 系统，当且仅当 $H(z)$ 的全部极点都位于单位圆内时，也即全部极点模均小于 1 时，系统就是稳定的。

5.3. 由线性常系数差分方程表征的 $LTI$ 系统

对于一般的 $N$ 阶差分方程，可以对方程两边进行 $z$ 变换，并利用线性和时移性质。现考虑一个 $LTI$ 系统，其输入、输出满足如下线性常系数差分方程：

$\tag{25} \sum_{k=0}^{N}a_ky[n-k] = \sum_{k=0}^{M}b_kx[n-k]$

对式（25）两边取 $z$ 变换，可得

$\tag{26} \sum_{k=0}^{N}a_k z^{-k}Y(z) = \sum_{k=0}^{M}b_k z^{-k}X(z)$

这样就有

$\tag{27} H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\displaystyle \sum_{k=0}^{M}b_k z^{-k}}{\displaystyle \sum_{k=0}^{N}a_k z^{-k}}$

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z 变换

1. z 变换

2. $z$ 变换的收敛域

3. $z$ 反变换

4. $z$ 变换的性质

4.1. 线性

4.2. 时移性质

4.3. $z$ 域尺度变换

4.4. 时间反转

4.5. 时间扩展

4.6. 共轭

4.7. 卷积性质

4.8. $z$ 域微分

4.9. 初值定理

4.10. 终值定理

4.11. 性质小结

4.12. 几个常用的 $z$ 变换对

5. 利用 $z$ 变换分析与表征线性时不变系统

5.1. 因果性

5.2. 稳定性

5.3. 由线性常系数差分方程表征的 $LTI$ 系统

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