赋范空间和收敛

范数是绝对值的推广，数集中的绝对值度量的是与0的距离，线性空间中的范数度量的是与零元素的距离。这种距离由形象而来，比如平面上两点的距离，就被定义为所成线段的长度，这种距离就是欧式距离，欧式距离可以轻易的推广到n维线性空间，对应的范数就是欧几里得范数，度量线性空间中元素到零元素的距离。

有了距离，就可以考虑不同元素离得远近的问题了，也就是收敛问题，一般来说，收敛是指随着指标的增大，序列中的元素越来越接近某一个点，换句话说，就是他们间的距离越来越近，使用数学符号就是，。有了收敛关系就能考虑很多有意思的问题了。

涉及极限问题后，微积分可以自如的展开。只不过，这里有一些微妙的问题，对于不同的范数定义，获得的赋范空间性质也很不一样，比如范数为一时构成的集合的边界形状就会出现差别，对于平面而言，对于欧几里得范数，就是一个圆，对于曼哈顿范数，就是一个方块。

然后是收敛的问题，虽然序列是收敛的，但是极限点可以不在空间内，这就不合适了，自然的就考虑空间的扩张，通过包含系数多项式的根进行的扩张是代数扩张，而通过包含收敛序列的极限点进行的扩张就很可能不是代数扩张了。超越数，由此而来，不可以表示为系数多项式的根的数就是超越数，比如无理数π，就不是有理系数多项式的根。但是无理数π可以通过有理数的收敛序列表示。所以从有理数到实数的扩张不是纯代数的。

这里的收敛序列用词不太合适，因为如果不在这个空间中，范数和距离都是未定义的。所以实际指的是柯西序列，也就是靠的很近的序列。收敛序列必定是柯西序列，柯西序列却未必是收敛序列。柯西序列是否为收敛序列，就是完备赋范空间或者说巴拿赫空间和赋范空间的区别。