初中代数（七）：根式

二次根式：一般地，我们把形如 (a ≥ 0) 的式子叫做二次根式

• 双重非负性：a ≥ 0, ≥ 0
• a 可以是常数，也可以是式子(整式或分式)，但是必须大于等于 0
• a 是分式的时候，要保证分式的分母不为 0

， (h ≥ 0), , (a < ) 都是二次根式

二次根式的性质：

1. ()² = a (a ≥ 0)

2. = |a|

练习题：

例1： + (-1 < x < 3)
解：原式 = + = |x - 3| + |x + 1|
∵ -1 < x < 3
∴ 原式 = -(x - 3) + (x + 1) = -x + 3 + x + 1 = 4

二次根式的乘法法则：

①： · = (a ≥ 0, b ≥ 0)
②： = · (a ≥ 0, b ≥ 0)

利用法则 ① 计算，利用法则 ② 化简

练习题：

例1：计算 · (x ≥ 0, y ≥ 0)
解：原式 = = （先计算）
= = · · = xy (再化简)

二次根式的除法法则：

①： = (a ≥ 0, b > 0)
②： = (a ≥ 0, b > 0)

利用法则 ① 计算，利用法则 ② 化简

最简二次根式：

• 被开方数不含分母(且分母中不含二次根式)
• 被开方数不含能开得尽方的因数或因式

, , 都是最简二次根式

, , 都不是最简二次根式

练习题：

例1：，被开方数含有分母，不是最简二次根式
解：原式 = = =

例2：，分母中含有二次根式，不是最简二次根式
解：原式 = =

例3：，被开方数没开尽，不是最简二次根式
解：原式 = =

同类二次根式：被开方数相同，即为同类二次根式

3 与 就是同类二次根式

二次根式加减法法则：

1. 化简二次根式为最简根式
2. 合并同类二次根式

练习题：

例1： -
解：原式 = - = 5 - = 4

例2：3 - 9 + 3
解：原式 = 3 - 9 × + 3
=12 - 3 + 6 = 15