二次根式:一般地,我们把形如 (a ≥ 0) 的式子叫做二次根式
- 双重非负性:a ≥ 0, ≥ 0
- a 可以是常数,也可以是式子(整式或分式),但是必须大于等于 0
- a 是分式的时候,要保证分式的分母不为 0
, (h ≥ 0), , (a < ) 都是二次根式
二次根式的性质:
-
()2 = a (a ≥ 0)
-
= |a|
练习题:
例1: + (-1 < x < 3)
解:原式 = + = |x - 3| + |x + 1|
∵ -1 < x < 3
∴ 原式 = -(x - 3) + (x + 1) = -x + 3 + x + 1 = 4
二次根式的乘法法则:
①: · = (a ≥ 0, b ≥ 0)
②: = · (a ≥ 0, b ≥ 0)
利用法则 ① 计算,利用法则 ② 化简
练习题:
例1:计算 · (x ≥ 0, y ≥ 0)
解:原式 = = (先计算)
= = · · = xy (再化简)
二次根式的除法法则:
①: = (a ≥ 0, b > 0)
②: = (a ≥ 0, b > 0)
利用法则 ① 计算,利用法则 ② 化简
最简二次根式:
- 被开方数不含分母(且分母中不含二次根式)
- 被开方数不含能开得尽方的因数或因式
, , 都是最简二次根式
, , 都不是最简二次根式
练习题:
例1:,被开方数含有分母,不是最简二次根式
解:原式 = = =
例2:,分母中含有二次根式,不是最简二次根式
解:原式 = =
例3:,被开方数没开尽,不是最简二次根式
解:原式 = =
同类二次根式:被开方数相同,即为同类二次根式
3 与 就是同类二次根式
二次根式加减法法则:
- 化简二次根式为最简根式
- 合并同类二次根式
练习题:
例1: -
解:原式 = - = 5 - = 4
例2:3 - 9 + 3
解:原式 = 3 - 9 × + 3
=12 - 3 + 6 = 15
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