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2019-11-26 Gauss Newton

2019-11-26 Gauss Newton

作者: 苏格兰低地弟弟打滴滴 | 来源:发表于2019-11-29 18:55 被阅读0次

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Gauss-Newton方法

一个是普通高斯牛顿方法收敛速度上的保证：

假如每个r_{i}(x) \in C^{2}，而x^*是最小二乘法的最优解。J^{* \mathrm{T}} J^{*}正定，假设用Gauss Newton方法产生的数列\left\{x_{k}\right\}会收敛到x^*，并且J(x)^{\mathrm{T}} J(x) , G(x) 在x^*的邻域上Lip，那么

\left\|h_{k+1}\right\| \leqslant\left\|\left(J^{* \mathrm{T}} J^{*}\right)^{-1}\right\|\left\|S^{*}\right\|\left\|h_{k}\right\|+O\left(\left\|h_{k}\right\|^{2}\right)

注意：首先假定了收敛

所以如果零剩余或者线性最小二乘的时候，就是牛顿（二阶）收敛的

如果是非线性等等，那就是一阶收敛

下面是阻尼高斯牛顿方法的收敛性：

假设在有界水平集上L\left(x_{0}\right)=\left\{x | f(x) \leqslant f\left(x_{0}\right)\right\}，r_{i}(x) \连续可微J(x)列满秩，那么用Wolfe产生的阻尼高斯牛顿方法产生的\left\{x_{k}\right\}，要么g_{N}=0，要么g_{k} \rightarrow 0, k \rightarrow \infty

注：有界的水平集保证了f是有下界的。

       在这个条件下，只要证明d_k ,-g_k的夹角\theta_{k}

因为求解高斯牛顿方程和求解

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