2019-11-26 Gauss Newton

2019-11-26 Gauss Newton

作者: 苏格兰低地弟弟打滴滴 | 来源:发表于2019-11-29 18:55 被阅读0次

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Gauss-Newton方法

一个是普通高斯牛顿方法收敛速度上的保证：

假如每个 $r_{i}(x) \in C^{2}$ ，而 $x^*$ 是最小二乘法的最优解。 $J^{* \mathrm{T}} J^{*}$ 正定，假设用Gauss Newton方法产生的数列 $\left\{x_{k}\right\}$ 会收敛到 $x^*$ ，并且 $J(x)^{\mathrm{T}} J(x) , G(x)$ 在 $x^*$ 的邻域上Lip，那么

$\left\|h_{k+1}\right\| \leqslant\left\|\left(J^{* \mathrm{T}} J^{*}\right)^{-1}\right\|\left\|S^{*}\right\|\left\|h_{k}\right\|+O\left(\left\|h_{k}\right\|^{2}\right)$

注意：首先假定了收敛

所以如果零剩余或者线性最小二乘的时候，就是牛顿（二阶）收敛的

如果是非线性等等，那就是一阶收敛

下面是阻尼高斯牛顿方法的收敛性：

假设在有界水平集上 $L\left(x_{0}\right)=\left\{x | f(x) \leqslant f\left(x_{0}\right)\right\}$ ， $r_{i}(x) \$ 连续可微 $J(x)$ 列满秩，那么用Wolfe产生的阻尼高斯牛顿方法产生的 $\left\{x_{k}\right\}$ ，要么 $g_{N}=0$ ，要么 $g_{k} \rightarrow 0, k \rightarrow \infty$

注：有界的水平集保证了f是有下界的。

在这个条件下，只要证明 $d_k ,-g_k$ 的夹角 $\theta_{k}$

因为求解高斯牛顿方程和求解

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