也许看到这个题目，有听众会觉得有点怪怪的哦。其实也很正常。
根据以往四期的节目，很可能感觉《亚历山大图书馆》这个系列都是一些飘在云上虚无缥缈的闲扯，好像虽说看上去讨论了很多有关学习问题的本质，但其实没啥作用哈。
那就来一次硬核的！
高等数学详解，可以了吧！够硬了吧！这下大家满足了吧！
好，废话不多说，直接进入主题。
我们要谈高等数学，先来定一个范围。这个。。那个。。。就拿同济大学数学教研室主编的高等教育出版社出版的《高等数学》第四版 上下册开刀。首先声明，如果你所在的学校，是理工科很可能会用到类似教材，放心，绝对没有你们老师教的好。好在我暂时不打算收费，所以不至于学校里面浪费了到我这里花十倍的价格来补课。在学校学习真的是经济实惠，望诸位学子珍惜机会。
这一个版本的高等数学在我上学的时候是理工科选用的教材。本校文科用的是《微积分》。
诶，说到这里，是不是大部分的同学都会觉得，好像高等数学就是微积分啊？
当然不是！
第一期，我们先来看看高等数学是个啥？都是数学，怎么就高等了呢？
先来百度：高等数学指相对于初等数学而言，数学的对象及方法较为繁杂的一部分。
广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的，将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。
通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。
主要内容包括：数列、极限、微积分、空间解析几何与线性代数、级数、常微分方程。
好，以上就是百度内容。
好像是很清晰的定义哦。但这样就明白了吗？似乎还是有些不明显的边界在，比如比较深入的代数，那和不深入的代数有啥区别？那比较深入的几何又是啥？初等数学到底是啥？
好，再百度好不好？
指通常在小学或中学阶段所教的数学内容，与高等数学相对。
这。。。。就更让人费解或者误解了，是不是高等和初等就是按照中小学和大学区分的呢？
之后，我们发现，在中文定义中，数学的初高或者中等其实用了类似穷举法的方法定义了。所谓穷举法，就是把所包含的项目全部列出来作为定义。作为本来就是认为设置和定义的学科，这样做似乎没什么不妥，具体内容还是可以百度。。。。我这里就不浪费篇幅了。
但即便这种穷举法定义和科学很明确。。。。但是，这是为什么呢？经过小学中学和大学学习的人会发现，并不是完全和计算能力或者理解能力直接挂钩的。有时候高等数学的题目比起中学三角函数的题目差远了，有时候又好像抽象程度和脑力需求又大很多。难道就是这样穷举或者说强行区分的吗？
当然是有道理在的。
首先，数学是什么？
一般可以这样说，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。
同时，数学也被认为是所有自然科学（或者说科学）之王。。。或者之母。。。。或者之父。。。
其实，数学呢可以被认为是一种用人为构造符号表达精密量化逻辑关系的语言，可用于形式逻辑的抽象推导演绎过程的一门学科。
恩。。。我觉得这样比较清楚了。不明白也没关系，总之，数学是用意义明确严格的符号来描述数之间关系的学问。作用很大，水很深。曾经被认为是魔鬼。（参见亚历山大图书馆传奇）
在我国古代，数学常常体现为算学。其实从字面上就可以看出，在根上我国的算学缺乏对数的研究，数的范围基本上限制在自然界和生产生活中可以采集到的抽象出来的样本。当然，由于古代思想方面中国有阴阳学说，所以对负数似乎领先了一点，但也仅此而已了。至于无理数，那也是基于生产生活中发现的圆这种自然的产物而出现的，并没有太多发展。
扯远了扯远了，再扯又变成数学史和科学史以及世界史了，这个不符合我们压力山大图书馆内容全宇宙均匀性的风格啊。
而在实际的学习和使用中，我们应该很容易发现，数学的起步是很多不证自明的和符合日常对世界的感性认识的，很多都是之前经验的归纳。比如1是一个数，以及大量运算符号的意义。数学的前面部分，其实就是对这些我们认为解释这样的符号和概念做明确的定义。这也是初等数学的重要内容，就是确定数学语言中基础符号的定义，定义方法并验证他们的使用方法。其中设计对象都是从生产生活中的经验累积和直观认知。能说清楚的就说清楚定义，说不清楚的就人为定义这个概念。总之，初等数学可以被划定为，直观认知数学，可直接用具象形式表现的数学，可以建立出三维模型让人看得见摸得着的数学应用。
相对的，对于不能在我们肉眼可见的三维坐标系中充分表现的，基于抽象经验的（基于数学本身推导出来的），那就是高等数学了。
回头去看上面的穷举定义中，中学中即便是让人头疼的函数，三角函数等等，也是借由三维立体解析几何来进行的，绝大多数概念都是能够在我们习惯的直观的三维坐标系中表达出来的。但正如中等数学的说法，此时也已经开始为了不能直观表述只能用数学推导的数学进行过渡了。其实，很多中学对于可以直观感受的面积体积质量等运算也开始使用微积分的算法。但很明显，高等数学中对于这样一次两次求导来算面积体积质量，或者速度加速度位移关系等例题都是用于帮助理解概念，当变量或者参数增多之后，就脱离可用三维空间想象的范畴了。
所以。。。这就明白了吧。初等数学就是别扭点总能在现实中找到对应的直接的直观的应用。而高等数学就开始进入看不见摸不着只能靠函数（数）推来推去的阶段了。
而实际应用也是，对于看不见摸不着的自然现象，常常用到高等数学中累积的知识。虽然推导到最后的几个参数只剩下四则运算加个平方，但过程中就涉及到很多不能靠感官抽象的东西了。
比如偏微分方程组，除了几个物理量能测量（其实已经看不到了），哪个能在直观感受中出现？时变磁场？还是位移电流？
又比如质能转换方程，质量，速度还有稍微抽象一点的能量，加上简单的乘法运算，但这只是最终结果，论证步骤可不是这么简单滴。
好，絮絮叨叨这么多，怎么样，还是没有提时间地点人物吧？对，亚历山大图书馆就是那么没知识。硬核的在后面。第一期只是一个思路和大致概念，真正能帮助重考补考重修通过的内容在后面。
这一期，继续水一点小知识。
关于数学的定义
亚里士多德把数学定义为“数量数学"，这个定义直到18世纪。从19世纪开始，数学研究越来越严格，开始涉及与数量和量度无明确关系的群论和投影几何等抽象主题，数学家和哲学家开始提出各种新的定义。这些定义中的一些强调了大量数学的演绎性质，一些强调了它的抽象性，一些强调数学中的某些话题。即使在专业人士中，对数学的定义也没有达成共识。数学是否是艺术或科学，甚至没有一致意见。[8]许多专业数学家对数学的定义不感兴趣，或者认为它是不可定义的。有些只是说，“数学是数学家做的。”
数学定义的三个主要类型被称为逻辑学家，直觉主义者和形式主义者，每个都反映了不同的哲学思想学派。都有严重的问题，没有人普遍接受，没有和解似乎是可行的。
数学逻辑的早期定义是本杰明·皮尔士（Benjamin Peirce）的“得出必要结论的科学”（1870）。在Principia Mathematica，Bertrand Russell和Alfred North Whitehead提出了被称为逻辑主义的哲学程序，并试图证明所有的数学概念，陈述和原则都可以用符号逻辑来定义和证明。数学的逻辑学定义是罗素的“所有数学是符号逻辑”（1903）。
直觉主义定义，从数学家L.E.J. Brouwer，识别具有某些精神现象的数学。直觉主义定义的一个例子是“数学是一个接着一个进行构造的心理活动”。直观主义的特点是它拒绝根据其他定义认为有效的一些数学思想。特别是，虽然其他数学哲学允许可以被证明存在的对象，即使它们不能被构造，但直觉主义只允许可以实际构建的数学对象。
正式主义定义用其符号和操作规则来确定数学。 Haskell Curry将数学简单地定义为“正式系统的科学”。[33]正式系统是一组符号，或令牌，还有一些规则告诉令牌如何组合成公式。在正式系统中，公理一词具有特殊意义，与“不言而喻的真理”的普通含义不同。在正式系统中，公理是包含在给定的正式系统中的令牌的组合，而不需要使用系统的规则导出。
关于另外一种类似穷举法的方法一刀切区分高低等数学。
一般认为，16世纪以前发展起来的各个数学学科总的是属于初等数学的范畴，因而，17世纪以后建立的数学学科基本上都是高等数学的内容。由此可见，高等数学的范畴无法用简单的几句话或列举其所含分支学科来说明。
关于数。
数学本身研究的内容当然要包括数。需要用什么样的数，然后应该如何发明并使用这种数是数学发展过程中很重要的一个内容。别人重复过的事情我就不多说了，蛮推荐妈咪说的节目的，有关数的发展历史，很有意思。不说远古人们可能连三以上都没法数，只能摆石头看。之后的自然数，分数，小数，负数，有理数，无理数，虚数无穷大等等都是一步步在使用过程中发现的，很多发现的时候都没有现实意义，仅仅是满足了运算过程中出现的原本无意义的结果参与运算的问题，但在其他科学中慢慢就会用到并得到了预期的效果。总之是很有趣。
关于计算。
无论初等还是高等数学，计算能力和计算方法都是很重要的。其中计算方法也和数的发展一样，不断的在创新演化。类似物理学家自以为发明了一种用于特殊物理量的不可逆乘法，结果数学家一看，这不是我们早些年玩剩下的矩阵吗？这种笑话时有发生。所以自然科学科学家对计算能力和算法的学习也是很有用处的。当然，对于那些大神级别的人物，为了算星星自己发明个微积分的事情也是有的。估计以后还是会越来越少吧。
是不是觉得我吹的这些牛很有意思或者很扯啊？依旧是推荐妈咪说的节目，懒得看书的你，去听吧。我负责形而上，想要知识，找别人去吧。这也是接下来要做高等数学节目的原因，全TM是抽象符号推导啊，我才懒得记谁为了啥在啥时候搞了这个事情呢。。。。。。
感觉会被打脸。
好，本期“高等数学，初次见面请多多关照”到此结束。下回“函数，你究竟是不是数”再见。
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