基础量子物理科普（4）量子态与薛定谔方程

作者: Never肥宅 | 来源:发表于2020-03-29 00:54 被阅读0次

基础量子物理科普（4）量子态与薛定谔方程
基础量子物理科普（5）还是薛定谔方程
基础量子物理科普（7）没错还是薛定谔方程
回到“能量”，你的世界终将改变！
2018-07-10
基础量子物理科普（8）果然还是薛定谔方程解析法
2022-04-15常识
“玻尔兹曼大脑”的通俗解释。
33
喆学的生命力

量子态

态的叠加

在经典力学中，波的叠加表示不同波长或是相位、频率的子波叠加
而在量子力学中，波的叠加表示的是态的叠加（毕竟波函数就是态函数）
比如说每个平面波 $|exp[i\boldsymbol p r/\hbar]|$ 都可以描述一个动量固定的量子态，对于一个用波包描述的粒子而言，其动量有许多可能出现的值，那么我们就可以认为波包描述的量子态就是许多不同的动量本征态的线性叠加。

薛定谔方程

那么量子态 $|\phi(r,t)|$ 怎样随时间变化呢？
我们先考虑一个自由粒子
粒子能量和动量的关系是
$E = \frac{p^2}{2m}$
按照德布罗意关系
$\omega = E/\hbar$
$k=p/\hbar$
所以动量p和能量E可以确定一个平面单色波 $\phi(r,t) \propto exp[i(\boldsymbol k· \boldsymbol r - \omega t)]=exp[i(\boldsymbol p· \boldsymbol r - E t)/\hbar]$
对t求偏导（同相位不同幅度）
$\frac{\partial}{\partial t}\phi = -i\frac{E}{h}\phi$
$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\phi = {E}\phi \ \ \ \ \ (1)$
$-i\hbar\nabla\phi=\boldsymbol p\phi$
$-\hbar^2\nabla^2\phi = \boldsymbol p^2\phi\ \ \ (3)$

因为 $E = \frac{p^2}{2m}$
所以把（1）-（3）/2m
可以有
$(i\hbar\frac{\partial}{\partial t} + \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 )\phi=(E - \frac{\boldsymbol p^2}{2m })\phi = 0$
即为 $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\phi =-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \phi$
对一个一般的自由粒子而言，其波函数相当于许多平面单色波的叠加，因此我们对p积分
$\phi(r,t)=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2} } \int_{-\infty}^{+\infty}\phi(p)exp[i(\boldsymbol{p·r}-Et)/\hbar]d^3p$
同理可证
$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \phi(r,t)=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2} } \int_{-\infty}^{+\infty}\phi(p)exp[i(\boldsymbol{p·r}-Et)/\hbar]d^3p$
所以
$(i\hbar \frac{\partial}{\partial t }+\frac{h^2\nabla^2}{2m})\phi = \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(\boldsymbol p)(E - \frac{\boldsymbol p^2}{2m})\times exp[i(\boldsymbol{p·r}-Et)/\hbar]d^3p=0$

如果是在势场中
$E = p^2/2m+V$
所以有 $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\phi =[-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 +V]\phi$
也就是薛定谔方程

基础量子物理科普（4）量子态与薛定谔方程
量子态在有了波函数后我们知道可以确定粒子在各点出现的概率，同时对做傅里叶变换可以得到，而则可以确定粒子动量为p的...
基础量子物理科普（5）还是薛定谔方程
位置在势场中，力可以被定义为势能函数的导数即因此通过牛顿第二定律求出x(t)在量子力学中我们要求波函数需要求解薛...
基础量子物理科普（7）没错还是薛定谔方程
那么定态薛定谔方程有其求解的基本思想是分解哈密尔顿算符但是由于p是算符，因此其运算顺序并不一定可以交换解决方法是先...
回到“能量”，你的世界终将改变！
缘起今天，人类已进入生物基因和量子物理科学的时代，对人类的研究与探索，是时侯从更高维度(量子态)来认知了...
2018-07-10
量子计算 0 量子计算基础量子态操作门：H， X， Y，Z，（泡利矩阵）一个quit. 操作连个态 ...
基础量子物理科普（8）果然还是薛定谔方程解析法
又回到了亲爱的定态薛定谔方程引入一个无量纲的变量简化公式则薛定谔方程为其中是以为单位的能量当非常大的时候原方程近似...
2022-04-15常识
龙桂鲁教授团队和陆建华教授团队合作，设计和实现了一种相位量子态与时间戳量子态混合编码的量子直接通信新系统，成功实现...
“玻尔兹曼大脑”的通俗解释。
最近看了一个思想实验“玻尔兹曼大脑”，觉得甚是精妙，连我这个大学没学过物理，量子力学科普也仅读过《量子物理史话》与...
33
反恐量子实验室量子态/幽灵态时间干涉
喆学的生命力
喆学的生命力喆学是关于生命观的学问，是对象化分析与解决问题的认知体系。一、诗意的物理生命，必然是量子态的！而...