曲线积分

作者: Raow1 | 来源:发表于2020-09-07 09:50 被阅读0次

2020-04-15 对弧长的曲线积分
（10.2）James Stewart Calculus 5th
曲线积分
曲线积分，格林公式，斯托克斯公式
曲线积分，格林公式，斯托克斯公式
曲面积分
高数学习之曲线面积分
NJUPT【高等数学 (下) 】
复连通区域运用格林公式？
2020考研数学保命题

最早了解的积分的概念中，积分范围是数轴上的一个区间。然后推广到二重积分，其积分范围是平面内的一个区域。这是从线到面的推广。
接着曲线积分是把积分范围从仅沿数轴的区间（线段）推广到光滑曲线弧。而曲面积分是把积分范围从平面内的区域推广到曲面区域。这是从直到曲的推广。

1. 总览

内容大纲

首先，对这部分内容的整体把握。

曲线积分和曲面积分都分为两类：对弧长（面积）的积分；对坐标的积分。个人理解中，可以把第一类与标量挂钩，第二类与向量挂钩。
第一类的应用如：计算线密度为变量的某曲线形元件的质量；计算面密度为变量的某曲面（如：非均匀外壳）的质量。这里的密度（被积函数）便是标量。
第二类的应用如：计算变力沿曲线做功；计算某速度下通过某曲面的流量。这里的力和速度（被积函数）便是向量。
两类曲线积分之间，以及两类曲面积分之间是有联系的。
格林公式描述了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的（第二类）曲线积分之间的关系。
斯托克斯公式是格林公式的推广，描述了曲面上的曲面积分与其边界曲线的（第二类）曲线积分之间的关系。
从格林公式和斯托克斯公式出发，需要理解环流量和旋度。
高斯公式描述了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的（第二类）曲面积分之间的关系。
从高斯公式（以及格林公式）出发，需要理解通量和散度。

2. 曲线积分

2.1 对弧长的曲线积分

2.1.1 如何理解对弧长的曲线积分

我们直接从简单的例子出发对概念进行理解，不再或较少提及严谨的公式证明，不严谨之处还望谅解。后续内容也都基于容易理解的理念来说明。

前面提到：对弧长的曲线积分有一应用是计算线密度为曲线形变量的某元件的质量。我们便基于此来说明。
为了计算质量，我们依据取微元的思想，将曲线形元件分为长度趋于0的n个弧段。由于弧段足够的短，于是用弧段上某点的线密度代替弧段上其他各处的线密度。再知道各弧段的长度，我们便可以计算各弧段的质量。由此，我们将每个线段的质量相加，便得到了元件的总质量。
于是我们建立一个直角坐标系，用函数来描述元件的形状和线密度。由于每段的质量=线密度*长度。已知了线密度是与坐标（x，y）相关的值，我们还要找到长度与坐标（x，y）的关系，这样才方便计算。

2.1.2 如何计算对弧长的曲线积分

正如上面所提到的，我们需要找到每段长度 $\Delta s$ 与坐标 $(x,y)$ 的关系。依据以直代曲的思想，显然有 $(\Delta s)^2\approx(\Delta x)^2+(\Delta y)^2$ 。我们将元件的弧线方程写成参数方程的形式有 $\begin{cases}\begin{align} x&=\varphi(t) \notag \\y&=\psi(t)\notag \end{align}\end{cases}$ ，其中 $\alpha \leq t \leq \beta$ 又有
$\begin{cases}\begin{align} \Delta x&=\varphi(t+\mathrm dt)-\varphi(t)\approx \mathrm dx=\varphi’(t)\mathrm dt \notag \\ \Delta y&=\psi(t+\mathrm dt)-\psi(t)\approx \mathrm dy=\psi’(t)\mathrm dt \notag \end{align}\end{cases}$
所以 $\Delta s$ 的近似值 $\mathrm ds$ （即弧微分）有如下形式 $\mathrm ds=\sqrt{\varphi’^2(t)+\psi’^2(t)}\mathrm dt$ 。

于是，我们便得到了
$\Delta s=\int_{t_{i-1}}^{t_i}\sqrt{\varphi’^2(t)+\psi’^2(t)}\mathrm dt$
其中 $t_{i-1}$ 和 $t_i$ 分别表示小弧段两端的 $t$ 值。
根据积分中值定理定理，又有
$\Delta s=\sqrt{\varphi’^2(\tau_i)+\psi’^2(\tau_i)}\Delta t_i$
其中 $\Delta t_i=t_i-t_{i-1}$ ， $t_{i-1}\leq \tau_i \leq t_i$
于是，我们便得到
$m=\lim\limits_{\lambda \to 0} \displaystyle\sum_{i=1}^nf[\varphi(\tau_i),\psi(\tau_i)]\sqrt{\varphi’^2(\tau_i)+\psi’^2(\tau_i)}\Delta t_i$
（这里我们直接将小弧段的线密度用 $\tau_i$ 点的线密度替换）。上式显然是函数 $f[\varphi(t),\psi(t)]\sqrt{\varphi’^2(t)+\psi’^2(t)}$ 在区间 $[\alpha , \beta]$ 上的定积分。所以
$m=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t),\psi(t)]\sqrt{\varphi’^2(t)+\psi’^2(t)}\mathrm dt$
又根据定义（请自行翻阅书籍），我们将第一类定积分记作 $\int_Lf(x,y)\mathrm ds$ ，所以有
$\int_Lf(x,y)\mathrm ds=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t),\psi(t)]\sqrt{\varphi’^2(t)+\psi’^2(t)}\mathrm dt$

对以上内容进行比较简单的记忆便是：在计算第一类曲线积分的时候，最重要的是搞清楚弧微分应该怎么表示出来。在直角坐标系，参数方程的情况下弧微分为
$\mathrm ds=\sqrt{\varphi’^2(t)+\psi’^2(t)}\mathrm dt$
在极坐标情况下弧微分为
$\mathrm ds=\sqrt{\rho’^2(\theta)+\rho^2(\theta)} \mathrm d\theta$
所以曲线积分为
$\int_Lf(x,y)\mathrm ds=\int_\alpha^\beta f[x(\theta),y(\theta)]\sqrt{\rho’^2(\theta)+\rho^2(\theta)} \mathrm d\theta$

2.2 对坐标的曲线积分

2.2.1 如何理解对坐标的曲线积分

同上，我们可以用计算变力沿曲线做功的例子来帮助理解。但为了说明方便，在此我使用恒力沿曲线做功的例子来说明，即相当于表示力的函数（被积函数）为常数。对于变力的情况，可以用沿用上面微元的方法加以类推。
首先，我们考虑熟悉的平抛运动，求重力在此过程中做的功。很明显这符合对坐标的曲线积分的情况，被积函数为重力，积分路径为曲线。如果用数学的思维和表达式求这个曲线积分，可以写为求
$\int_LP(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy$
L为平抛轨迹的方程，用向量值函数表示重力
$\mathbf F=P(x,y)\mathbf i+Q(x,y)\mathbf j=mg\mathbf j$
可知 $P(x,y)=0$ ， $Q(x,y)=mg$ 。然后用第二类曲线积分的计算法对 $\int_Lmg\mathrm dy$ 求解。
但是如果我们在此用物理的思维，便是用 $mg*\Delta y$ 。
接着，我们考虑一个诡异的运动：还是平抛，但有一个力的形式如下：
$\mathbf F=P(x,y)\mathbf i+Q(x,y) \mathbf j=2\mathbf i+2\mathbf j$
我们需要求这个力做功。依照上面，用数学表达式即为，求
$\int_L2\mathrm dx+2\mathrm dy$
在物理方法中，有两种思路。一为，直接求力和位移的数量积。二为，将力分解为 $x$ 方向和 $y$ 方向，分别求两方向的做功然后相加。
我们比较数学方式和物理形式，可以将其对应起来
$\begin{cases} \int_LP(x,y)\mathrm dx=W_x \notag \\ \int_LQ(x,y)\mathrm dy=W_y \notag \end{cases}$
最后再以一个比较数学的题目来进一步说明如何理解对坐标的曲线积分：计算 $\int_L2xy\mathrm dx+x^2\mathrm dy$ ，其中 $L$ 为抛物线 $y=x^2$ 上从 $O(0,0)$ 到 $B(1,1)$ 的一段弧。
转换成物理语言便是：求变力 $\mathbf F=2xy\mathbf i+x^2\mathbf j$ 沿曲线做的功。而 $\int_L2xy\mathrm dx$ 对应的便是 $x$ 方向做的功， $\int_Lx^2\mathrm dy$ 对应的便是 $y$ 方向做的功。

2.2.2 如何计算对坐标的曲线积分

在此我不在对计算方法予以推导，我想说的是：在进行计算的时候，不按照书上方式将对 $\mathrm dx$ ， $\mathrm dy$ 的积分和都化为对 $x$ 或 $y$ 或参数 $t$ 的积分，而是像物理里面一样， $x$ ， $y$ 两个方向分开来看也是可行且合理的。
计算对坐标的曲线积分的核心便是把每部分（或整体）的被积函数中的自变量和积分变量相统一。

2.3 两类曲线积分之间的联系

如果明白了以上内容，那理解两类曲线积分之间的联系就是水到渠成的事情。
我们知道，第二类曲线积分可以看作变力沿曲线做功。那么类似的，我们可以把第一类曲线积分也看作变力沿曲线做功，只是这个变力很是特殊，它与曲线的轨迹时时相切。
基于以上理解，我们可以想到，正是由于变力与曲线时时相切，其做功便可以直接相乘（ $cos\theta=1$ ）。因此，我们可以将 $\int_Lf(x,y)\mathrm ds$ 中的 $f(x,y)$ 看作力的大小的函数。 $\mathrm ds$ 便是小段的位移。
基于以上理解，我们想将第二类曲线积分化为第一类曲线积分的形式，我们要如何做呢。这时候我们想到，在物理里面，求力做功不仅可以把力和位移都分解为沿 $x$ 和 $y$ 方向，还可以直接求力和位移的数量积或是将力投影到位移方向。
于是，我们将力投影到位移方向。但是由于一般给出的力的形式 $\mathbf F=P(x,y)\mathbf i+Q(x,y)\mathbf j$ 都是沿 $x$ 轴和 $y$ 轴分解，所以我们做这两个分方向的力的投影到位移上，可知
$\int_LP(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy=\int_L(P(x,y)cos\alpha+Q(x,y)cos\beta) ds$
下图为以上公式来源的示意图。

示意图

上述公式左边可以理解为将力和位移都分解为 $x$ 和 $y$ 方向分别求解再相加来求功，右边可以理解为将力投影到位移方向再相乘求功。
于是，我们也可以理解了书上的公式
$\int_\Gamma \mathbf A \cdot \mathrm d \mathbf r=\int_\Gamma \mathbf A \cdot \pmb {\tau} \mathrm ds$
等式左边表示力与位移的数量积的方式求功，右边表示力投影到位移方向求功。

（未完待续）

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