先解释前一篇当中的一个细节。在提到那些「分数」字符的时候，可能会有读者觉得漏了「1/12」「5/12」「7/12」「11/12」这四个，如果加上，「计数单位」才算「完整」是吧。这种想法「有一定道理但生活经验略显不足」，日常生活中通常说「五美分」而不是「二十分之一美元」，已经精确到「单位」了直接加数词即可，所以没必要提供。
上面这个例子可能很多汉语读者感觉不爽，为啥用「五美分」举例，换成兲朝币不行么？问题是我在「日常生活」中只看到有人喷我「五美分」吖，还没见着其它辅币，注意「日元」从战后开始贬值到现在已经不需要辅币了也。
不过呢，「只懂汉语」的曾经的「中国籍汉族人」如今的「反汉贱种中国通」还是会从善如流的嘛。就用我中华兲朝上国那发达的文学传统所反应的「日常生活」举例吧。比方说「巨侠从怀里掏出一千两银子」，可没说「六十二斤半」吖。
注意这个例子不是我一拍脑袋现编的，而是在某曾经的「军网最黄黄网最军」论坛上看到俩「七字帐号」说相声的时候记下来的。捧哏的是『粗通汉语赵元任』，较真「半斤八两还是五两」；而逗哏的是『略懂英文钱钟书』，就说了「六十二斤半」这段子。
回到设定吧。可能很多人对于「十二进制」不以为然，毕竟现实中和文学作品里面已经出现过很多笔力强劲的鲜活的描写了。架空作品里面使用「打」（dozen）和「篓」（gross）作为计数单位，确实体现了独特感染力，而虚构语言当中也有出现，如托尔金设定的精灵语就有十二进制计数。
但是呢，我的目标不仅仅是体现一种「氛围」，而是确实的要用「十二进制」发展出一套迥异于本位面的数学体系。众所周知数学发展到现在，基于十进制的学术成果不计其数，但是理论上换成十二进制「重写」一遍并不影响结论。我没有「重构数学」那么大野心，仅仅是为了在设定中体现「希帕索斯会」那不屈不挠的革命精神，把一些相关的基础的初等的结论「翻译」成十二进制而已。
在本位面历史上，就有许多学者为了躲避反动教会和政权的迫害，使用各种密语记录自己的研究成果，包括但不限于达芬奇。达芬奇用的方法还是比较简单的，用左手从右往左写，文字本身还是日常语言。而设定中「希帕索斯会」的研究内容，从语言到符号都会换一套，手稿尤其是草稿当中肯定不会加密，但也要体现让外人一眼看不明白的「隔阂」。
顺便，出现十二进制的作品，差不多都是英语，众所周知因为英制单位当中保留的十二进制最多，因此英语作家尤其是老迈年高的那些，才会在「生活经验」的基础上轻松叙述。而如今英制单位连英国本土都不用了，只剩下美国。即便在美国也有「公制推广协会」之类组织活动。
比方说英国货币，旧制当中一英镑等于二十先令，而一先令等于十二便士；后来币制改革，取消先令，一英镑等于一百新便士。而一英尺还是十二英寸。
提到「便士」，可能很多体育爱好者立刻想起了绰号「便士」的著名篮球运动员「安芬尼·哈达威」（Anfernee Hardaway）。因为名字比较罕见，所以通称「便士哈达威」是吧。可是有人想过为啥这个名字比较罕见呢？连美国解说员都觉得奇怪？
很简单，因为他是黑人，而美国「黑人英语」是一种独特的变体。细节各位可以自行搜索，这里就说相关内容。本来在哈达威出生的时候，母亲（也是黑人）取名「安东尼」（Anthony）。但是因为黑人英语中的/θ/通常发音作/f/，于是念成「安芬尼」，导致登记户口的时候直接按照发音记录下来。
我等生在新中国长在红旗下的兲朝共产主义接班人听不懂黑人英语也就罢了，美国公务员尤其是基层公务员也听不懂么？这个稍微有一点疑问，但是又没有唯物主义证据。所以呢，大约十年前，我就根据这个考古素材改编了个段子，用来调侃在「军网最黄黄网最军」和某文学站点都活跃过的某知名恶趣味上海某校档案馆管理员所报名的龙套。大概是个面试场景：
「您叫什么名字？」
「默默默林·斯洛诺诺诺维奇·别别别别尔科夫」
「您有口吃？」
「不。我的父亲有口吃。给我上户口的那个片警简直就是个白痴。」
开场白差不多了，这几篇也扯远了，该回到注释正文的本职工作上面来了也。
接下来一段，设定为《元素魔法概论》课程，看内容也知道，还是「初等数学」的范畴。毕竟在常见的西幻背景当中，「元素魔法」是大路货，无论谁只要入门了都能玩几手。更何况许多西幻网文当中的钦定龙傲天主角，一般都是从小比人聪明还比人努力的魔法神童大少爷学徒，通常在入学测试的时候就惊呆校方，然后从此过上了一边跳级一边坚持把永远充沛的求知热精灌输给学姐们的幸福生活。
对于有理数的「稠密」性质，不需要实数理论也能理解，只要「数学学到初一」甚至在小学阶段掌握了分数运算规则之后，就知道俩有理数之间必定能取个中点，加起来除以二即可。注意，「分数」的运算法则，包括但不限于「最大公约数」「最小公倍数」相关概念，在本位面历史上也不是那么简洁的。
德语有个惯用短语「掉进分数里去了」（原文忘了，可能现当代已经很少用了吧）用来形容「焦头烂额」的窘态，估计来自历史上德意志学生的数学课体验。这种体验，我也曾经经历过，上世纪末学《泛函分析》的时候，「上课抓耳挠腮考试面如土色」的感觉已经在十几年前的网络发言中写过了。
下面一句，把「魔网」和「有理数集」联系起来，讲解「并非无处不在但需要时总会存在」的特点，虽然没提到实数理论，但是也强调了「有限精度」的重点。这个设定，和本位面现实存在的各种「科技」体验一致，在工程上面一般只需要「数值方法」，只要精度足够，结果就能令人满意。换句话说，「元素魔法」依赖的函数，性质通常都很好，虽然光滑性未必能指望，但是连续甚至一致连续都有保证，所以才有可能通过「多项式」拟合，不超出「初等数学」范围。
插一句，与工科甚至部分物理专业不一样，数学专业碰到的函数，通常「素质低下」「性格恶劣」甚至「找不到任何闪光点」，于是才擅长「发掘阴暗面」「凡事往坏处想」「不惮以最大的恶意揣测」「预则立不预则废」「未算胜先算败」，这只是普通的专业习惯而已，其实没什么值得诧异的奇怪之处。
前面也吐糟过了，其他专业的数学教材充斥着「革命乐观主义精神」，假设这帮党国栋梁青年才俊这辈子都碰不上「直觉」搞不定的问题，只要「心往一处想劲往一处使」就能「战天斗地」。所以嘛，共产主义接班人们看我「浑身散发着负能量」洋溢着「反革命乐观主义精神」的战斗状态不顺眼，其实也没什么值得诧异的奇怪之处。
下面一句，指出对「魔网」的态度，「称呼」无所谓，但「祈祷」是没用的。这里强调「魔网」不是个人格化的神甚至不是神，不仅仅是为了与教会宣扬的意识形态保持高度一致，还继续暗示「魔网」甚至不是「人造」的，然后提到了「以阿波罗指代太阳」的「修辞」手段，暗示这种「教育」会在潜移默化当中不知不觉的影响学生的「信仰」，于是提前打预防针。
再下面一句，肯定了毕达哥拉斯学派在历史上曾经的积极的正面的作用，同时引入了「埃及分数」这个随着分数运算法则的普及导致现当代「初等数学」当中已经不再涉及的技巧。至于这个「用单位分数的和表示有理数」的技巧是否合理，暂时不做考虑，但是可以猜测古埃及人如此表达的原因。我认为，除了意识形态之外，恐怕还和语言有关。
我不懂科普特语乃至古埃及语，但是可以假设，勤劳勇敢智慧善良的古埃及人民，在长期的生产生活斗争实践当中，伴随着认识世界和改造世界的不懈奋斗，逐步形成了一种通过数词的曲折变化表示单位分数的语法（确切说是「词法」）。然后，语法关系对语法力的反作用出现了，反动腐朽没落的数词，阻挠了曾经勤劳勇敢智慧善良的古埃及人民进一步认识世界和改造世界，直到被武德充沛的外宾灭亡时，也没有从已经落后于时代的依靠单位分数的繁琐运算当中解脱出来。
虽然这么揣测，但是在设定中还是赋予了「卡壳世界」当中「埃及分数」的合理性：一串分母序列容易存储。毕竟是个奇幻背景，在奇幻题材中常见的「法术触发、定序和序列器」这些东西，就有了用武之地。并且，这些设定本来也是在计算机普及之后的时代涌现出来的，包括但不限于TSR在内的设定者肯定会把这些事情联系到一起。哪怕是为了「和光同尘与国际接轨不脱离群众」，也得这么解释。
下面一句，「整系数多项式方程」如今通称「丢番图方程」。为什么没有提到「丢番图」的名字，因为丢番图虽然革命性的承认了「分数」并允许系数和解是有理数，但是没有涉及到无理数。按照其生活的年代，可以猜测七百多年之后的他其实还是「毕达哥拉斯学派」支持者。
这里插一句，不是说「有理数集」上面的代数问题都解决了，有个「埃尔德什－施特劳斯猜想（Erdős–Straus conjecture）」，是1948年这二位提出来的：「4/n = 1/x + 1/y + 1/z」，对于任何大于1的正整数n，xyz都有正整数解。到现在也没有解决。
所以，其实这里还在暗示，「探求未知」与「探求真理」之间存在着微妙的差别。不能说丢番图在学术上的研究方向错了，只能说「人各有志」。在本位面尤其是如今，没有任何褒贬色彩，但是在数学关乎超自然力量的「卡壳世界」奇幻背景下，肯定会涉及意识形态领域的立场。
于是只好对不住本位面并没有表现出阻挠文明进步倾向的丢番图喽。本位面差不多中性的「人各有志」换到「卡壳世界」就是带有贬义色彩的「道不同不相为谋」。请注意「修辞」技巧的重要性，尤其是各位写手（除钦定文豪外）。顺便，这位丢番图，也是在亚历山大港，与希罗一样，可见几百年来亚历山大港的学术中心地位。
再下面一句，「讲师」就开始批判毕达哥拉斯学派反动腐朽的一面了，顺便高度赞扬了希帕索斯。这里就暗示「讲师」是「希帕索斯会」成员，于是与上面不提丢番图名字的细节对应起来。这是个伏笔，与后面「后会有期」相呼应，否则「范书藤」步入社会之后也没那么简单就接触到「希帕索斯会」嘛。
再下面一句，提到了「亚历山大港的希罗」。涉及虚数和「影魔网」的话题前面注释过了，这里再补充一句。本位面系统阐述复数运算法则的，是意大利数学家「邦贝利」（Rafael Bombelli），比笛卡尔年代要早。之所以「讲师」没有提到邦贝利，倒不是意识形态原因，而是因为其影响没有达到「让教会重视」的程度。必须强调，「极简主义风格」不是「春秋笔法」，「笔则笔」肯定有意义，「削则削」则不见得有意义，否则我还写注释干嘛。
既然「希罗」的成就包括了「重新发现」古巴比伦计算平方根的算法，肯定不是毕达哥拉斯学派的死忠。这个细节也在暗示希罗是「希帕索斯会」成员，因为「十二平均律」需要开平方根的大量计算，还需要足够精度。而希罗的年代（10-70AD），仅仅比耶少爷稍微晚一点而已。所以，这个细节同时也体现了「卡壳世界」基督教会研究出神术之后，「希帕索斯会」深刻体会到「落后就要挨打」于是奋起直追的大无畏的革命精神。
最后一句，教会把基于「e」「π」的古代魔法收编为神术，前面也注释过了，为了引出欧拉公式当中把「邪恶的」虚数单位「i」与「神圣的」超越数「e」「π」并列，以及由此而来的在数学系门口当作标语的虚构名言「我们信仰的主义，乃是宇宙的真理」。
就是这样，或曰「Q.E.D.」。
2017年11月9日星期四
囧斋
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