三角之目：2014年理数四川卷题16

三角之目：2014年理数四川卷题16

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-06-06 23:03 被阅读0次

2014年理数四川卷题16

已知函数 $f(x)=\sin(3x+\dfrac{\pi}{4})$ .

（Ⅰ）求 $f(x)$ 的单调递增区间；

（Ⅱ）若 $\alpha$ 是第二象限角， $f(\dfrac{\alpha}{3})=\dfrac{4}{5}\cos(\alpha+\dfrac{\pi}{4})\cos2\alpha$ , 求 $\cos\alpha-\sin\alpha$ 的值.

【解答问题Ⅰ】

若函数 $f(x)$ 单调递增，则 $2k\pi-\dfrac{\pi}{2} \leqslant 3x+\dfrac{\pi}{4} \leqslant 2k\pi+\dfrac{\pi}{2}$

$2k\pi-\dfrac{3\pi}{4} \leqslant 3x \leqslant 2k\pi+\dfrac{\pi}{4}$

$\dfrac{2}{3}k\pi-\dfrac{\pi}{4} \leqslant x \leqslant \dfrac{2}{3}k\pi+\dfrac{\pi}{12}$

结论，函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $[\dfrac{2}{3}k\pi-\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{2}{3}k\pi+\dfrac{\pi}{12}], \; k \in \boldsymbol{Z}$ .

【解答问题Ⅱ】

$f(\dfrac{\alpha}{3})=\sin (\alpha+\dfrac{\pi}{4})$ ,

$\cos2\alpha=\sin(2\alpha+\dfrac{\pi}{2})=\sin2(\alpha+\dfrac{\pi}{4})$

$=2\sin(\alpha+\dfrac{\pi}{4})\cos(\alpha+\dfrac{\pi}{4})$

代入已知条件得：

$\dfrac{8}{5}\sin(\alpha+\dfrac{\pi}{4})\cos^2(\alpha+\dfrac{\pi}{4})-\sin(\alpha+\dfrac{\pi}{4})=0$

$\sin(\alpha+\dfrac{\pi}{4}) [ \dfrac{8}{5}\cos^2(\alpha+\dfrac{\pi}{4})-1 ]=0$

又∵ $\alpha$ 是第二象限角， $\dfrac{3\pi}{4} \lt (\alpha+\dfrac{\pi}{4}) \lt \dfrac{5\pi}{4}$ ,

所以，以上方程存在两解：

(1) $\sin(\alpha+\dfrac{\pi}{4}) =0, \alpha=\dfrac{3\pi}{4}$ ,

$\cos\alpha-\sin\alpha = -\sqrt{2}$ ;

(2) $\cos^2(\alpha+\dfrac{\pi}{4})= \dfrac{5}{8}$ ,

$\cos(\alpha+\dfrac{\pi}{4})= - \sqrt{\dfrac{5}{8}}$ ,

$\cos\alpha-\sin\alpha = \sqrt{2} (\cos\alpha \cos\dfrac{\pi}{4} -\sin\alpha\sin\dfrac{\pi}{4})$

$\cos\alpha-\sin\alpha = \sqrt{2} \cos (\alpha+\dfrac{\pi}{4})= - \dfrac{5}{2}$

【提炼与提高】

在最近十年的高考数学中，大角大题多数会以余弦定理和正弦定理为主角。

本题没有涉及这两个定理，但是对于三角恒等变换要求较高，这是很有特色的，值得留意。

相关文章

网友评论

高中数学纲目

本文标题：三角之目：2014年理数四川卷题16

本文链接：https://www.haomeiwen.com/subject/wvjsmrtx.html

延伸阅读

深度阅读

您也可以注册成为美文阅读网的作者，发表您的原创作品、分享您的心情！

栏目导航

高中数学纲目

热点阅读

高中数学纲目

关于我们|服务条款|联系我们|三角之目：2014年理数四川卷题16|投稿指南|网站地图|RSS订阅|排版工具|手机版

提供经典美文摘抄,优美散文欣赏,现代诗歌精选,短篇小说,心情随笔,表白情书范文,故事会在线阅读欣赏

Copyright © 2014-2023 Haomeiwen.com All Rights Reserved. 好美文阅读网版权所有

备案信息：桂公网安备 45052102000051号 · 桂ICP备13007215号-3

本站所收录作品、热点评论等信息部分来源互联网，目的只是为了系统归纳学习和传递资讯

所有作品版权归原创作者所有，与本站立场无关，如不慎侵犯了你的权益，请联系我们告知，我们将做删除处理！