第二章 微观经济学中的数学工具

4.上一题的对偶问题是给定xy=0.25,求x+y的最小值。用拉格朗日乘数法求解。比较这两题中算出的拉格朗日乘数的大小,并解释其关系。

解:(1)设最小化问题的拉格朗日函数为:L=x+y+λ(0.25-xy)

一阶条件为:

由前两个方程式可得x=y，,联立第三个方程式,解得:x=y=0.5。

(2)将本题与第3题进行比较可知,两种情况下求得的拉格朗日乘数的值分别为0.5和2,互为倒数。这是因为第3题中受约束的最大化问题是本题中受约束的最小化问题的一个对偶问题。

5.垂直向上抛球,t秒后高度为f(t)=-0.5t2+40t(其中g是重力加速度)。

(1)达到最高点时t为多少?将其写成g的函数。

(2)用上一问的结果解释当g发生改变时,最高点高度如何变化。

(3)用包络定理求解第(2)小题。

(4)在地球上g=32,但在不同的地方略有不同。如果两地g相差0.1,球能达到的最大高度大约差多少?

解:(1) 对高度函数f(t)=-0.5gt2+4t关于时间求导数可得：

从而可以解得使高度最大的时间为:t*=40/g,从而可知小球处于最高处的时间t与参数g成反比例关系。

(2) 将t*=40/g代入高度函数中可得

从而有

即随着g的增大,最大高度将变小。

()由包络定理可知:取决于g,这是因为t*取决于g。

因而有:

(4)当g=32时,最大高度为:f=800/32=25;

当g=32.1时,最大高度为:f=800/32.1≈24.92;

因而两地最大高度的差异为:△f=f-=24.92-25=-0.08。

6.为了建造一艘油轮,我们把一块长3x,宽x的铁皮四角各剪去一块边长为t的正方形,再折起来,就形成了无盖油箱的结构。

(1) 证明油箱的体积V=t(x-2t)(3x-2t)=3tx2-8t2x+4t3。

(2) 对于给定的x,为了使油箱容积最大,t应该取多少?

(3) 把V视为x的函数,V是否有最大值?

(4) 如果造船厂只有1000000方英尺的铁皮,即t,x满足约束条件3x2-4t2=100000现在求解V的最大值。此时的结果和(2),(3)两个问题有什么区别?

解:(1)如图2-1所示,长方形四个角处去掉一个边长为t的正方形后叠起来的油箱是一个长方体,该长方体的长为(3x-2t),宽为(x-2t),高为t,因而其体积为:V=t(x-2t) (3x-2t)=3tx2-8t2x+4t3

 

(2)V关于t求导数可得：

从而可以解得

即:t1=0.225x,t2=1.11x

二阶条件为:

因此,只有当t=0.225x时,才有

即只有当t=0.225x才能使给定x下的V最大。

(3)当t=0.225x时,V≈0.67x3-0.04x3+0.05x3≈0.68x3。因而当x增大时,V随之增大,没有极限。因此,不存在一个x使得所装油的体积最大。

(4)受约束的最优化问题为：

设拉格朗日函数为：

一阶条件为：

从而可以利用拉格朗日乘数法求得最优的t*、x*。显然,该受约束的最大化问题的解将有别于(2)和(3)中求解出来的解。

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