如何利用化一法求三角函数的最值？

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-07-28 22:05 被阅读0次

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化一法求三角函数的最值

使用情景：函数表达式形如 $f(x)=a\sin^2 x+b \cos ^2 x +c\sin x \cos x+d$ 类型

解题步骤：

第一步运用倍角公式、三角恒等变换等将所给的函数式化为形如 $y=a\sin x+b \cos x +c$ 形式；

第二步利用辅助角公式 $a\sin x+b \cos x =\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$ 形式化为只含有一个函数名的形式；

第三步利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值.

【例】已知函数 $f(x)=\sqrt{3}\sin 2x+2\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)$ ，则 $f(x)$ 在 $x \in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值与最小值之差为____．

【答案】 $3$

【解析】

$f(x)=\sqrt{3}\sin 2x+\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+2x\right)$

$=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x$

$=2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)$

当 $x \in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 时， $2x+\dfrac{\pi}{6} \in \left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{7\pi}{6}\right]$

故 $\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right) \in \left[-\dfrac{1}{2},1\right]$

即函数 $f(x)$ 的值域为 $[-1,2]$

故答案为 $3$

考点：二倍角公式，两角和公式，正弦函数的值域．

【总结】本题中主要考察了学生三角化简能力，涉及有二倍角公式和两角和公式，把函数转化为单一函数 $f(x)=2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)$ ，进而利用换元思想，把 $2x+\dfrac{\pi}{6}$ 看作一个整体，利用 $y=\sin x$ 的单调性即可得出最值，这是解决 $y=a\sin x+b \cos x$ 的常用做法．

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