从最短光程原理到折射定律

作者：亚马逊的蝴蝶（Butterfly_of_Amazon）

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曾谨言《量子力学 卷 I（第五版）》P17 学习笔记

大家在中学物理课上都了解过光的折射，知道光从一种介质进入另一种折射率不同的介质时方向会发生偏折，见下图：

图1 光的折射

在 x 点，光线从折射率为 n₁ 的介质进入折射率为 n₂ 的介质，入射角为 θ₁ ，折射角为 θ₂ ，两个角与折射率的关系为 n₁•Sin θ₁=n₂•Sin θ₂，这就是大名鼎鼎的折射定律。

为什么会有这样的关系？课本上没有说。

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1662年，法国科学家皮埃尔·德·费马提出：光传播的路径是光程取极值的路径，这个极值可能是极大值、极小值，甚至是函数的拐点。这个原理称为费马原理，又名“最短光程原理”。严格说，称之为“最短时间原理”更合适，因为这里的光程是指光走过需要的时间，而不是路程。

我解释一下这个原理的含义：

我们知道，光线在真空中的传播速度为 c （约为每秒299792458米），在介质中传播速度会有所降低，不同介质降低程度不同，降低程度可用折射率 n 表示，其大小为真空中光速 c 除以介质中光速 v ，即：n=c/v。

图1中，有一条光线从左上角的（0，a）点传播到 x 点，x 点所在水平线是两种介质的分界线，光线会如何偏折？费马原理告诉我们，光线会折向这样一条路线：对于这条路线的上任何点，除这条路线本身，找不到第二条路能使得光线从（0，a）到这个点所需时间更短。

根据这条原理，我们便能推导出折射定律 。过程如下：

图1中，假设 x 点在水平线上的位置是可变的，有一条光线从左上角的（0，a）点传播到 x 点，然后再从 x 点传播到右下角的（l，-b）点。推导折射定律的任务转化为：求当 x 点位于何处时，传播时间 t 最短。

即，当 x 点的位置使得 n₁•Sin θ₁=n₂•Sin θ₂ 时，光线传播所需时间最短。

折射定律得证。

与其说费马原理解释了折射现象的成因，不如说它只是提供了计算思路。要从更基础的角度来解释折射现象，估计只能依靠量子力学了。物理学至今没有找到一个终极理论来解释这个世界，也许永远找不到，但量子力学大概是目前最接近的一个。

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