2017-11-28

2)．韩信点兵法在数学方面的分析

              我们先讲一个引人入胜的传说：活说当年，楚汉相争，刘邦有大将韩信，常言道：韩信用兵，多多益善。为什么？因为韩信有数学思想和方法，兵再多，他也了如指掌。一次他点兵，人数大约在2000人左右，他下令士兵按7人、11人、13人分组布阵，然后分别把不够分组的人数报上来，结果按7人布阵多3人；按11人布阵多4人；按13人布阵多8人。韩信很快知道士兵总人数是1984人。这是为什么？下面我们用数学来分析他的方法：

    i)设x为士兵数目，则x三3(mod7)；x三4(mod11)；x三8(mod13)．如果我们找一个数x’与x有相同的余数，则(x’－x)一定是7x11x13的倍数．因此x＝x’－k·(7x11x13) (k为整数)，最接近人数2000的那个x就是答案。

  ii)设x1、x2、x3分别是以(1、0、0），(0、1、0)，(0、0、1)为余数集且小于7x11x13＝1001的解．令x1＝y1·143；x2＝y2·91；x3＝y3·77。若x1三1(mod7)，则143y1＝(140y1＋3y1)三1(mod7)，即3y1三1(mod7)．所以取y1＝5得x1＝5x143＝715．

  同样，91＝(88＋3)，91三3三1(mod11)，所以取y2＝4，得x2＝364；77＝65＋12，77三12三1(mod13)，所以取y3＝12，得x3＝924．

iii)然后由分配律可直接得r1·x1＋r2·x2＋r3·x3的余数集是(r1、r2、r3)，其中O＜＝r1＜7，O＜＝r2＜11，O＜＝r3＜13，在上述韩信点兵例子中(r1、r2、r3)＝(3、4、8)

所以x’＝r1·715＋r2·364＋r3·924＝3X715＋4X364＋8X924＝2145＋1456＋7392＝10993

  x＝x’－KX1001＝1984（K取9)