总结是为了更好地开始！

一切的总结只有一个目的——为了更好地开始！这应该是另外一种对“以终为始”的解释吧！

二年级的课程内容主要围绕这三个大的板块展开：代数观念的建构，几何观念的建构，时间观念的建构。于儿童而言，今年的学习历程会有以下几个特殊点：1.第一次关注图形的局部性质。（角）2.第一次开始物理性测量。（长度单位）3.第一次接触更加复杂的数量关系。（乘法）4.加减法算理的学习将彻底结束。所以在开学之初，我就在课程计划中写着八个字：满怀期待，充满向往。

那么我和小贝壳到底在整个学习都经历了些什么呢？我们一起走进小贝壳教室的数学故事。

首先是对数观念建构过程的总结

在学习100以内数的加减法计算这章之前，我先问了自己一个问题，对于他们这代人，将来要迎接的一定是一个人工智能时代，那么我们教孩子们数字计算的目的到底是什么?是为了准确而快速地求出一道题的结果吗？绝对不是，目标是提升儿童的数感。一个鲜活的生命，与迄今为止人类最伟大的发明之一——数字及数字之间的运算所发生的那份奇妙的化学反应，才是我和孩子们在穿越课程时快乐的源泉。而这份快乐是任何算法无法表示的。

这个单元化学反应发生最强烈的要数用多种方法解决问题了。一道算式45＋37=？你会怎么计算呢？孩子们会想到很多好玩的算法，退位减法的解决过程也是如此。

不同算法的惊异感会让他们乐此不疲，在我们看来这就是数学创造。其实这样的游戏他们一年级就已经玩过了，那个时候他们就像现在的小牵牛们一样在棋子游戏中，在计数器游戏中去不断创造，小牵牛们会调皮地把两个加数都变成10，这种方法被他们称做是双黄蛋法。现在的小贝壳已经不再用去摆棋子去帮助自己理解了，他们脑海中对于数的位值制，十进制的认识已经足以帮助他们来进行这样的创作了。明年的小牵牛们也一定会在这部分玩出不一样的新花样，因为每个生命都是独特的，谁知道明天他们不会创造出一个三黄蛋方法呢？

在教学竖式之前，我又问了自己一个问题：如果多种方法已经可以解决问题了，竖式教学的意义又何在呢？迎合教材安排，应付国家考试？答案是否定的，第一个跳入我脑海的还是这个词——数感。是的，对数字及计算中所包含的位值制感觉，对计算的科学认识。当你将竖式计算看成是一种固定的计算程序的时候，你就会觉得它枯燥乏味，但是如果你将竖式看成对按照位置制思想解决问题的简洁的一种表达的时候，你就会对竖式表达肃然起敬，从未来发展的角度来讲，这种简洁的按照位值解决问题的过程还将继续出现在孩子们之后的所有计算问题中（更大数字的加减法计算，乘法竖式，除法竖式不都是这样吗？）。小贝壳的竖式学习当然不是一个固定程序的模仿，而是一次数学创造之旅。

结合计数器的操作我们最开始的竖式记录是这样的——孩子们将自己计数器上的操作用文字一步一步地记录下来。

很快就有孩子提出这样写多麻烦啊！为什么不能按照位置制将这些计算过程进行整理呢？于是就有了这样的作品——

如果能够直接用数字表达就好了，孩子们进行自己的尝试，这是多么好的发明啊！一下子我们可以少些那么多字。

但是马上就有人提出意见，不行啊！别人会以为你在计算405+209呢？最后的还等于74，这不是闹笑话吗？所以我们再进行了创造，这下好多了吧？

有人提出4个十加上2个十怎么能等于7个十呢？5个一＋9个一怎么可能是4个一，计数器上的满十进一的过程不能缺少！最后我们对于竖式表达方式达成了这样的共识。

在这其中的数学的求简思想与数的位值制计算之间的不断沟通协调会让孩子们乐此不疲，他们的学习也才具有了意义。

在开始教乘法这个单元之前，我又问自己了一个问题：到底什么才是乘法？加法的简便运算？乘法口诀？都不是，乘法不是任何运算的附属物，它就是它自己，是人类在处理更加复杂数量关系时的一项新发明。

当我意识到这一点的时候我是非常兴奋的，所以在执行课程的时候就有一种莫名的使命感，觉得自己就是那个位乘法正名的人。摆棋子游戏中对倍数关系的充分理解，节奏游戏，队列游戏，跳格子游戏中去系统建构乘法运算。

数轴太短了不够跳怎么办？那就把整间教室都给你们，正着跳，倒着跳，开心地跳吧！

一直往前跳跳烦了怎么办？那就在两个圆圈上接着跳。

对于还处具体运算阶段的小贝壳他们还在刚开始的自然数学习阶段，还属于小学代数卓越课程系统的浪漫阶段后期向精确阶段早期的过渡时期，所以大量的动作操作游戏仍然是我们课程的主要内容。在玩的过程中他们会发现：6×5和5×6是一回事；4×7里面有两个2×7，8×7里面又有两个4×7；学到了9的乘法口诀，孩子们惊呼：个位上的数字每次都在减少一个一，而十位上的数字每次都在增加一个十！当你追问为什么的时候，小贝壳们会用自己已有的倍数观念和加减法观念解释到：加9的过程其实就是加10减1的过程啊！

这是班里的墨在课间自己挑战课本上的乘法算式时，被倩楠老师抓拍到的一张照片，没有布置作业，是孩子们自己在做，我想应该就是乘法学习带给孩子的自信和满足感让他欲罢不能。

这是孩子们在系统学完乘法口诀之后，在圣诞节前夜做的好玩的圣诞袜子，里面不仅藏着的是乘法算式，而且是有规律的乘法算式，他们将乘法算式和明年的圣诞愿望一起交给了圣诞老爷爷。

这是我们后面在玩掷骰子游戏，他们彻底玩疯了，这是我们数学群里家长朋友的反馈——

本来只要求孩子们写出5道算式就可以，当作业反馈出来的时候我真的吃了一大惊！

我没有布置作业，我只是布置了一个好玩的筛子乘法游戏而已。真正布置作业的人是他，他给爸妈在布置124×565=？

可能最想知道答案是这位老师吧！所以这样的练习完全没有违和感，我们也将它变成了游戏的一部分，谢谢俊杰老师的筛子。

加法和减法运算只要明确了算理就算学完了吗？不，我们还要去沟通不同运算之间的关系，创造属于自己的数学作品。加法减法部分的数字树，乘法部分的章鱼图。加法与加法之间，减法与减法之间，乘法与乘法之间，加减法与乘法之间完全是一张彼此依存的网。

以前在这部分执行的时候我会有一个误区，觉得孩子的枝做的越高就越厉害，希望他们每个人的作品都是满满一张纸，我的这种期望其实孩子是能够感受到的，他们会觉得很累，不愿意再做了。今年我反其道行之，每次数字树制作的时候就会讲：哎呀！重点在思路啊！每种思路写上5个算式就好啦！不行5个还是太多，3个吧！3个还是太多，写2个吧！他们的反应是什么？不行，我还是要写5个，2个算怎么回事，其实下笔的时候我再象征性地管管：不可以，就只能写3个！其实还是有人偷偷地加算式。数字树和章鱼图基本上都是在我的管制下完成的，孩子们没有那么强烈的反感情绪，也感觉轻松了不少，还满足了他们“想要不听老师话”的强烈需求。

现在我们再来看看在最开始提到的那个词——数感。

你会发现这三个组成部分我们其实一直都渗透在我们的课程中，我们的目标不是数学计算最后的准确结果，而是他们在学习过程中的创造能力，你可以看到每个孩子的作品都是不一样的，都是不可替代的，这就是他们的生命与人类伟大文化数学之间的紧密交融。所以我们可以很自信地说，我们是在通过数学培养人，在培养有独特个性的人，培养不能被人工智能替代的人。

我们再来谈谈几何观念的建构

在最开始我提到了这学期的课程让我最期待的一点就是可以带着孩子们第一次去关注图形的局部性质——角的存在。在这章我真正感受到了去了解孩子认知冲突的重要性！只有你充分了解了这个阶段儿童的认知冲突之后，才会真正理解课程资料中每一步设计的目的是什么。

 在本单元精确部分的第一课时，要求孩子们将常见平面图形上的角撕下来！

我之前以为是为了之后对角进行分类，命名直角，钝角，锐角做准备。这样的认识让我的课堂遇到了巨大的障碍，因为孩子们根本就不会撕角，这个时候你才发现原来我认识的角和他们脑海中的角根本不是一回事！在他们的脑海中角根本就只是几何图形中的那个尖尖的点，是没有办法撕的。这个时候我才知道原来这里是要孩子们在动作操作及对话中真正的认知到角是由一个顶点和两条边组成的图形。而且角的正确认识只能在孩子们遭遇到真正的认知冲突的时候才会解决，而这个撕角的游戏，就是在给孩子们制造认知冲突。

了解儿童的认知冲突，不仅可以帮助我知道课程执行的目的是什么，还会帮助我将课程执行得更深刻！ 之后孩子们玩的彩泥捏塑游戏，我会引导孩子去用自己捏塑的角和直角比一比，来证明自己的角到底是一个什么角。

我以为这部分的设计就是为了让孩子们关注到直角锐角钝角之间的关系。如果你了解到现阶段儿童他的认知冲突是不能确定教的大小到底是由边决定的，还是又角决定的。你一定会你追问一句，多出来的部分在哪里的时候？你就会发现很多孩子指的是这条长长的边。原来在他们看来边越长角越大，对于二年级的孩子来说这样的描述其实很正常，他们现在还处在手视觉因素强烈控制的阶段。但理解角的大小问题却是在他们的最近发展区内的，知道了这一点之后，我们就开始了好玩的比角游戏。同样的直角，哪个最大？他们立马就会反映上来一样大！你能够感受到孩子们回答一样大时的不可思议和兴奋，他们第一次体会到了跳过视觉影像去做出正确判断的乐趣，之后孩子们在用直角和其他角进行比较的时候就会很自然的指出大的部分与张口有关而与边的长短无关。

最重要的是，对于孩子这一点认知冲突的理解，为我之后执行动态角课程又增加了一个新的维度。原来这部分并不是简单的让孩子理解旋转也能形成角，旋转过的范围不就是角的大小吗？

到了四年级这不就是角的度量吗？而且我们会很自然而然地玩出平角和周角。如果没有对这认知冲突的正确认识，我的课程可能也是在做，但一定是轻飘飘的，没有任何力度。

现在我能够理解为什么王校将做课程前测视为我们课程执行中最最重要的底线，只要结合儿童的认知冲突展开的对话才是有意义的对话。

奇葩说有一期辩题说：如果这个世界上有可以让你读懂他们心思的胶囊，你吃不吃？蔡康永的一句话打动了我——如果有读心术胶囊，我一定会吃，因为我太想知道这个世界的造物主是如何创造这个世界的，我也太想知道我自己是怎么想的。当然这个世界上是没有这颗药丸的，但很多人都是这粒药丸的研发者，我们最熟悉的皮亚杰，维果斯基。可能至今为止这颗大脑对我们来说仍然是一个黑匣子，但上课前，我们必须要吃下读心术胶囊，这颗胶囊就是前测游戏。

最后我们再来谈谈度量观念的建构

总是在谈孩子的观念如何建构，其实我一直觉得我和孩子们一样，也站在观念建构的起点上！今年最让我兴奋的一点是对于度量观念的幡然悔悟。

从长度度量单位的一步一步地发明创造——

到度量单位的统一——

再到国际度量单位的制作和使用——

我们从来没有在课堂上强调过度量的实际就是：确定度量基准，然后求若干个度量基准的和。但这个观点却被孩子们自然而然地应用于每一次的度量活动中。

原本以为这种度量观念在测量单元结束后就会很自然地进入潜伏状态，但令我惊奇的是在穿越《认识时间》这章时，度量观念竟然再次苏醒。你是不是觉得这两幅图是那么的相似？

一个是在找钟表上的“1小时”，一个是在找厘米尺上的“1厘米”，在小贝壳看来就是在度量工具上找度量单位，只是他们的度量对象不一样而已。其实在制做表盘的时候，就有孩子们说，好像做米尺的过程啊！都是将一个物体均匀分成了若干份。

这个时候我开始理解为什么皮亚杰强调儿童要能够成功建构时间观念的一个重要条件就是对时间的可匀质分割性的理解，其实这里就是时间单位的理解，对时间的可度量性的理解。

有了这样的认识之后我的课程逻辑就立马清晰了很多，那么下面的学习历程其实和长度测量单位就如出一辙：确定时间度量单位——时和分——

沟通度量单位之间的关系——

用度量单位来度量时间（在钟表上动态表示时间）——

如果要测量比分还要短的时间怎么办？——那就发明更小的度量单位秒。如果要测量比时要长很多的时间怎么办？那就发明更大的度量单位——天，月和年的引入不也就自然而然了吗？这个时候你会有一种天大亮的感觉，不再是柏拉图所讲的那个穴中人。孩子们在综合阶段就提出了关于时间单位的问题：我知道一分钟里面有60秒，一个小时里面有60分钟，但是为什么一天里面没有60个小时，而是12个小时呢？这个问题实在是太棒了，这其实就是在追问最早的时间单位的发明到底是是怎么回事？也只要经历了长度单位发明创造的整个历程的孩子才会提出这样的问题。度量观念在儿童脑海中真正的扎下了根。

而我的思考还没有结束，一下时的《认识人民币》单元的教学，上的很痛苦，王校当时还教研了一下，感觉还是不是那么通透，当走完这学期的课程之后，我突然觉得这也是一个度量问题，只是度量的对象是“商品的价值”，度量的单位是“元”“角”“分”而已。

那么之后的面积，体积的度量，或者其他所有需要用到度量的地方。度量可能成为一种思想存在于我的脑海中，这对我来说真的是具有划时代的意义，准确地讲是改变了我的认知结构，成为我的一个思维工具。这就是执行课程时的巨大快乐，我的认知冲突也得到了解决。

这个时候我才真正地理解了，当你成为一个学习者，体会到认知冲突被解决时的快乐时，你才能将这种快乐带给孩子。所以整个学习的过程既是孩子的成长，更是我的成长，我和他们一样在玩游戏，学数学！

在开篇我说总结是为了更好地开始。

到这里我想说总结不仅是为了更好地开始，更重要的是为了满怀信心的再次开始。