知识点一：柯尔莫哥洛夫复杂度
数学就在你身边，而且很可能就在你意想不到的地方。咱们从电影开始说。
1.俗套、不俗和看不懂的电影
最近姜文出了个新电影叫《邪不压正》 —— 姜文到底想说什么？
电影讲故事都是有固定套路的。一般的电影都是讲英雄故事，你看完电影之后很容易归纳一个“中心思想”：本片描写了主人公不畏艰难、积极进取，几经挫折终于战胜了敌人，同时也战胜了自己，最终抱得美人归……
而有的导演不爱这么拍。可能有的电影里根本就没有主人公，描写几个看上去非常独立的事件，每个事件的人物之间好像没什么联系。但是你把全片看完之后，发现这几个故事有同一个主题。比如影片讲了四个爱情故事，而这个主题是“爱情很无奈”。那你的影评就可以这么写：先用一句纳兰词开头：“人生若只如初见，何事秋风悲画扇……”
但还有的导演觉得这么拍还是太俗。不俗的拍法是这样的。影片描写一连串的事件，看上去有一个或者几个主人公，其中每个事件你都能看明白是什么意思，事件之间似乎也都有因果联系 —— 但是整个影片看完，你发现你无法理解导演到底想要说什么。是说正义必将战胜邪恶吗？好像不是这个意思。是在讽刺谁吗？也看不太出来。……这些事件好像根本就没有主题！
姜文的《邪不压正》，大约就有点这个意思。这种电影能激发人们写影评的热情，但我们这里可不打算解读姜文。我要讲一个数学定理。我关心的问题是，你最少写需要多长的影评，才能让人充分领会《邪不压正》这部电影呢？
这个问题和“信息论”和“可计算性”有关，就如同我们专栏前面讲过的哥德尔不完备性定理一样有意思。先从简单的开始说。
2.什么叫“复杂”
请尝试用最简单的语言，概括下面这三个字符串 ——
1. 001001001001001001001001001001
2. 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233
3. asiwf082kf8fefljwnfimdnflc
你一眼就能看出来前两个。第一个字符串就是“把001重复说10遍”，第二个字符串是“斐波那契数列的前12项”。
对前面这两个字符串，都能找到比字符串本身更简单的说法去描述它们。就算把它们的长度再增加多少倍，这两句话还是可以充分概括。那么大概可以说，这两个字符串的“复杂度”，比较低。
但是第三个字符串就不一样了，你根本就没办法用更简单的说法概括。事实上这个字符串是我自己随便打出来的 —— 可是你又不能用“随便打出来的字符串”去概括它，因为随便打出来的字符串可以千变万化，我们要概括的是*这个*字符串。
描述第三个字符串的唯一办法，就是老老实实地把它念一遍。
说到这里，你可能已经想到香农的“信息熵”这个概念了。我们记得，香农定义信息的方法是看它“克服了多少不确定性”。香农的视角是基于概率论的，只看单个字符出现的概率，不关心整个字符串有什么“意思”。
要说的这个理论，则是从另一个角度审视字符串的信息，它来自前苏联科学家安德烈·尼古拉耶维奇·柯尔莫哥洛夫。柯尔莫哥洛夫的视角是你能用多短的语句去描写这个字符串 —— 正如我们前面说的这三个例子。
柯尔莫哥洛夫让你想象你是在用一段计算机算法来生成这些字符串。如果你学过编程，你可以轻易地用程序生成任意长度的上面那第一和第二个字符串 —— 你用很短的程序就能生成很长的字符串。可是对第三个字符串，你就只好老老实实地使用
打印 ‘asiwf082kf8fefljwnfimdnflc'
这个算法。
那么柯尔莫哥洛夫说，前两个字符串的“算法含量”比较低，而第三个字符串的“算法含量”比较高。
据此可以定义一个新概念，叫做“柯尔莫哥洛夫复杂度（Kolmogorov complexity）”：
—— 所谓“柯尔莫哥洛夫复杂度”，就是能生成这段字符串的最短算法的长度。
前两个字符串的“柯尔莫哥洛夫复杂度”比较低，而第三个字符串的“柯尔莫哥洛夫复杂度”比较高。
“复杂”是个非常……复杂的话题。科学家至今也没找到一个公认的“复杂”的定义，但是柯尔莫哥洛夫复杂度可以作为一个参考标准。
说到这里你大概猜到我为什么要先说电影了。抛开人物、台词和道具的具体细节不谈，大约可以说，俗套电影的柯尔莫哥洛夫复杂度比较低，而不俗的电影的柯尔莫哥洛夫复杂度比较高。这里的“低”和“高”体现在你能用多短的影评来概括这个电影。
《邪不压正》这个片的柯尔莫哥洛夫复杂度似乎很高。当然复杂度高不等于好看，其实我更喜欢看《我不是药神》。
那么现在问题来了。你能不能开发一个人工智能算法，自动判断每个电影的柯尔莫哥洛夫复杂度呢？试想如果有这么一个算法，我们选片的时候不就多了一个维度吗？比如有的电影虽然观众好感评分比较低，但是复杂度高，那也许是曲高和寡，聪明人会觉得还是值得一看的。再比如有些文章虽然写的很长，但是复杂度低，那也能吸引到某些读者。
有没有这样的算法呢？
3.定理
答案是没有。这就是我们今天要说的数学定理，这个定理说 ——
柯尔莫哥洛夫复杂度是不可计算的。
也就是说，你永远都找不到一个算法，来自动计算每个字符串的柯尔莫哥洛夫复杂度。这个定理的证明有一点点烧脑，我们这里就不讲了。但是如果你自己感兴趣，稍微上网搜索一下、再稍微花点时间思考，你就能理解它的证明。
我们还是重点说说这个定理的意义。纽约大学布鲁克林分校的计算机科学教授诺森·扬诺夫斯基（Noson S. Yanofsky）最近在一篇文章 [1] 中说，这个关于柯尔莫哥洛夫复杂度的定理是数理逻辑中最深刻的定理之一。
扬诺夫斯基认为，这个定理等于是说，不管你对一系列事件的规律怎么总结，你提出了一个多么深刻的解释 —— 你永远都不知道还有没有更好的总结和更深的解释。
以我之见，说白了就是，不管那些影评人已经下了多大功夫，他们都无法确定姜文是不是还有更深的意思……就连姜文本人也不知道这部电影到底能“深”到什么程度。
说到这里你可能听出了一点讽刺意味。不就是一个电影吗？也许根本就没什么“深刻”含义，这帮影评人纯属故弄玄虚。其实我赞同这个立场。
但我想说的是，关于柯尔莫哥洛夫复杂度的数学定理就好像哥德尔不完备性定理一样，给人类带来一个永久的希望。
这个希望就是我们永远都有可能从生活中发掘新的意义！你想想啊，人类的大历史也好，我们个人的小日子也好，生活本质上就是一连串的事件，而所谓事件无非就是连续发生的信息。这些事件可能是有联系的，就好像我们今天前面两个字符串一样；也可能是没联系的，就好像我随机手打的第三个字符串一样。也许有些事情有意义，有些事情没意义。也许整个人生都根本就没有意义。
可是作为一个人，我们总要寻找一些意义。“一切都是随机发生的”这句话可无法指导你过上更好的生活。你总要相信努力奋斗能带来幸福 —— 或者至少能增大幸福的概率 —— 才行。我们总要给自己讲个故事。
正如历史学家不能简单罗列史实，他总要尝试给历史一个解释。
可是编剧的故事越讲越俗，历史学家的解释也都不新鲜了，那将来有没有可能有一个时刻，我们坐在一起感慨，说“行了，所有可能的意义我们都已经见识过了，这个世界再也没有更深刻的意义了”呢？
会不会有那么一个“观止”的时刻呢？
我们今天说的这个定理就是说，不会的。你永远都不知道还有没有一个更深刻的意义。
由此得到
我们得到了一个标准和一个希望。
“柯尔莫哥洛夫复杂度”是衡量一段字符串 —— 或者一部电影、一篇文章、一生的经历 —— 的复杂度的标准。如果你能用很简单的语言概括这个东西，那么这个东西的复杂度就不高。
而找到对这个东西的概括，你也找到了这个东西的意义。
而说明“柯尔莫哥洛夫复杂度”不可计算的数学定理，则给了我们永远追求更深刻意义的希望。
关于“柯尔莫哥洛夫复杂度”我们今天就讲这么多。而你和我都无法知道，这个理论还有没有更深刻的意思！
知识点二：宇宙是平的…这很令人费解
如果你想测验一个人的科学知识水平，有一个问题特别有意思。你可以问他，宇宙是有限大，还是无限大的？
如果他回答宇宙是有限大的，那说明这个人具备了一定的科学素养。如果他回答宇宙是无限大的，那就有两种可能。一种可能是这个人对现代科学一无所知；另一种可能，却是他对天体物理学的最新进展非常了解。
1.有限大，是可以理解的
以前哲学家一说起宇宙来就是什么“空间上无边无际，在时间上无始无终”。这个朴素的想法是有道理的，我们无法想象一个存在边界的宇宙 —— 如果宇宙有边界，那么边界之外是什么呢？其实这个问题，物理学家在很早以前就已经给出了高级的答案。
现在已经确切知道，宇宙在时间上肯定是有一个开端，那就是大爆炸。你要问在大爆炸之“前”是什么？这个问题没有意义，因为那时候“时间”并不存在。时间，是有限的。
那么空间呢？宇宙完全可能是一个空间有限大，但又没有边界的存在。你只要想象一下地球的表面就明白了。地球的表面积是有限大的，但对于生活在地球表面这么一个二维空间的人来说，地球是没有边界的，不论他往哪里走，总能循环回到原点 —— 因为地球表面是*弯曲*的。
三维空间，也可以是弯曲的。
首先明确一点，宇宙空间是三维的。有些科幻小说喜欢说宇宙空间是高维的，比如什么四维空间、五维空间，这都是不对的。你可以在数学上证明，只有在三维空间中，行星轨道才可能是稳定的 —— 才允许有文明存在。你可能听说过“超弦理论”，说有十维空间，但是请注意超弦理论中那些多出来的维度都是蜷缩起来、极其小尺度上的存在，是不算数的 —— 而且超弦理论至今没有任何可观测的证据。
所以宇宙是三维的，但是是可以弯曲的三维空间。广义相对论说“物质告诉时空怎么弯曲，时空告诉物质怎么运动”，我们现在有充分的观测证据，大质量物体就弯曲了它周围的空间。
那么据此设想，人们推测，也许整个宇宙就是一个弯曲的巨大空间，就好像二维的地球表面一样。如果你沿着某个方向在宇宙中一直走，最终也将会回到出发点。当然宇宙实在太大了，而且空间膨胀的速度超过了光速，所以我们并没有观测到有一束光在宇宙中循环往返。
这个有限大、没有边界的弯曲空间，就是十多年以前科学家对宇宙空间的标准想象。比如霍金的《时间简史》这本书里讲的宇宙空间模型就是这样。
所以如果一个人说宇宙是有限大的，就说明他超越了传统思维模式，具备了科学素养 —— 他心目中有一个弯曲空间的宇宙。
但是我们这个宇宙喜欢给物理学家制造惊喜。
2.平的？！
过去十几年间，科学家用地面望远镜和太空探测器反反复复在大尺度上观测宇宙，发现空间……并不是弯曲的。最新的一个结果是在2013年底由“重子振动分光镜勘测（Baryon Oscillation Spectroscopic Survey，简称 BOSS）”发现、2014年1月宣布的：在大尺度上，宇宙空间是“异乎寻常的平直（extraordinarily flat）”。
像这样超乎寻常的结论，科学家有超乎寻常的证据。弯曲空间中没有真正的“平行线” —— 比如你在地球的赤道上画两条平行线，你会发现这两条线会在极地交叉到一起；而如果空间曲率是负的，平行线之间的相互距离就会越来越远。但是科学家测量遥远星系的光，发现并没有这种弯曲。
科学家还仔细考察了宇宙微波背景辐射的地图。如果空间是弯曲的，这个图就会有些弯曲，如下图所示 ——
但是科学家观察不到任何弯曲。现在观测的结果，我们有误差小于1%的精度，认为宇宙是平直的。
还有一个间接的办法。根据广义相对论，质量和能量可以让空间发生弯曲，那么你只要统计一下宇宙里大概有多少的质能，就可以知道空间是怎么弯曲的。科学家把已知的可见物质、暗物质、暗能量这些质能都加在一起，就可以测量出宇宙的质能密度。在广义相对论中还有一个理论上的“临界质能密度”，我们把观测的质能密度除以临界质能密度，得到一个数值，用希腊字母 Ω 表示。
如果 Ω>1，那就说明宇宙里物质比较多，引力比较大，宇宙空间的曲率就是正的，那么宇宙就像一个球一样弯曲；如果 Ω<1，那就说明物质比较少，引力比较小，那么宇宙就会是一个像马鞍形一样的空间，是开放的。你猜计算结果的 Ω 是多少？
结果是 Ω = 1 ± 0.004。
也就是在0.4%的精度之内，Ω 正好等于 1。这说明我们这个宇宙的物质不多不少，引力不大不小，正好让空间是平直的！
空间是平的，所以我们这个宇宙中三角形的内角之和正好等于180度，两条平行线永远不会相交。换句话说，你初中学的几何学正好够用，宇宙在大尺度上就是一个简单的欧几里得空间。
这个看似平淡，实则惊心动魄的事实，给我们带来了两个问题：一个是学术问题，一个是想象力问题。
3.巧合，又见巧合
先说学术问题。宇宙质能密度系数 Ω 正好等于1，这大约相当于每立方米中有5个氢原子的能量。可这是为啥呢？为什么不是宇宙里每立方米有4个或者6个氢原子呢？这个问题现在没有人能解答。
今天这个 Ω 也有点“微调”的意思。其实 Ω 比1稍微大一点或者小一点，人类也能存在，但是 Ω = 1 也还是太巧了。为什么非得让空间这么平呢？难道“上帝”有强迫症吗？
4.怎样理解“无限大”
只要 Ω 等于或者小于1，宇宙空间就无法闭合，就是无限大的。一个平直而又没有边界的空间只可能无限大。事实上，在2014年最新测量结果出来，开新闻发布会的时候，BOSS项目总负责人大卫·施莱格尔（David Schlegel）说，我们关心宇宙是不是平的，因为这关系到宇宙是有限大还是无限大的 —— 而“我们的观测结果和无限大的宇宙相吻合（Our results are consistent with an infinite universe）。”
这是一个非常令人不安的结果，有限大是可以想象的，无限大是不可想象的。大爆炸之前什么都没有，然后现在怎么就无限大了呢？
当然，你也可以说测量存在误差，测量结果是 Ω = 1 ± 0.004 —— 也许 Ω 并不严格等于1，宇宙空间并不是严格平的。但即便如此，也意味着宇宙比我们能观测的、甚至比我们能想象的，都要大得多得多，至少是“几乎无限大”。
这么大是什么意思呢？物理学家对此也开了个脑洞，这会给你的想象力带来极大的刺激。
首先我们要知道，宇宙没有中心。空间的膨胀是哪里都在膨胀，宇宙中遥远的区域应该跟我们这里差不多，有差不多密度的星体。从微波背景辐射图来看，宇宙各个地方大体上就是差不多的，我们这里，一点都不特殊。
其次，你还要知道，根据量子力学，给定这么一堆物质，不管他们的排列组合有多少不同的可能，也一定是有限的。这意味着所有可能的文明世界形态，也只有有限多种。
好。那么如果宇宙是无限大或者近乎无限大的，而我们这里并不特殊，而文明又只有有限多种，这意味着什么呢？
意味着每一种可能都有几乎无限多个副本。
说白了，就是非常遥远的某个地方，存在着一个跟地球一模一样的星球。在那个星球上，存在着和我们一模一样的人。其中就有一个一模一样的“你”，也正在听着精英日课！
当然，你和他的下一步行动可能是不同的，比如你选择点击分享按钮，而他没有这么做 —— 但不论如何，还存在另外无数个同样的你，他们也点击分享了。
甚至有人已经估算了这样的星球距离我们有多远。最近的那个一模一样的你，距离你大约是10的（10的29次方）次方，米。
这当然是个不可思议的数字。使用常规的旅行方式你永远也不可能见到他，也永远无法和他取得联系，他有极大的可能性是我们可见宇宙范围之外。
这是一个非常好的科幻小说素材，它意味着网络小说流行的“穿越”在逻辑上是可能的。物理学家不太相信什么“时间旅行”，说你回到我们这个地球曾经经历过的明朝末年，那不太可能，会造成因果关系的紊乱。但是，如果宇宙中存在另外一个地球，那个地球和我们一样，不过它正好处于明朝末年，其中也有崇祯、魏忠贤、袁崇焕这些人物。如果你能通过什么虫洞之类的机制前往那个地球，那你尽可以随便折腾，不用担心影响我们这里的历史。
考虑到宇宙是无限大或者近乎无限大的，你可以认为一切“有可能发生”的事情，就都发生过、而且都会发生几乎无数次。因为再小的概率乘以一个几乎无穷大的数也可以大于1。
下次买彩票没中奖，或者跟意中人失之交臂的时候，想到宇宙之大，那个你希望的可能性毕竟在某一处发生了，你也许会感到些许安慰。
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