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信息论概念汇总

信息论概念汇总

作者: netczy | 来源:发表于2019-02-13 04:55 被阅读0次

总结下机器学习中的各种熵

自信息

对事件不确定性的度量
I(p_i) = -log(p_i)

熵表示随机变量不确定性的度量。
X是一个取有限个值的离散随机变量,其概率分布为
\begin{align} P ( X = x_{i} ) = p_{i}, \quad i =1, 2, \cdots, n \end{align}
则随机变量X的熵
\begin{align} H ( X ) = H ( p ) = - \sum_{i=1}^{n} p_{i} \log p_{i} \end{align}
其中,若p_{i}=0,则定义0 \log 0 = 0\begin{align} p_{i} = \dfrac{1}{n} \end{align}
\begin{align} H ( p ) &= - \sum_{i=1}^{n} p_{i} \log p_{i} \\\ & = - \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{n} \log \dfrac{1}{n} \\\ & = \log n\end{align}
由定义,得0 \leq H ( p ) \leq \log n

联合熵

描述一对随机变量平均所需要的信息量
H(X,Y) = \sum_x\sum_yP(x,y)log_2[p(x,y)]
联合熵的性质

条件熵

条件熵H ( Y | X )表示在已知随机变量X的条件下随机变量Y的不确定性。
随机变量X给定的条件下随机变量Y的条件熵定义为给定条件下Y的条件概率分布的熵对X的数学期望。
\begin{align} H ( Y | X ) &= \sum_{x\in X} p(x) H ( Y | X = x )  \\\ & = \sum_{x\in X} p(x) \sum_{y\in Y} p(y|x)logp(y|x) \\\ & = \sum_{x\in X}\sum_{y\in Y} p(x,y)logp(y|x) \end{align}
从公式的推断过程,可以得到条件熵的一个性质:
H(Y|X) = H(X,Y)-H(X)

其中,当熵和条件熵由数据估计(极大似然估计)得到时,对应的熵和条件熵分别称为经验熵经验条件熵

信息增益(互信息)

信息增益g ( X , Y )表示已知特征X的信息而使得类Y的信息的不确定性减少的程度。
特征Y对训练集X的信息增益
g ( X, Y ) = H ( X ) - H ( X | Y )
即,集合X的经验熵H (X)与特征Y给定条件下Y的经验条件熵H ( X | Y )之差。

熵、联合熵、条件熵、互信息的关系

下面的图解释了熵、联合熵、条件熵、互信息的关系
[图片上传失败...(image-e719cf-1550004845982)]
可以得到互信息的一个性质
I(X;Y) = H(X) + H(Y) - H(X,Y)
I(X;Y) = H(X) - H(X|Y)
I(X;Y) = H(Y) - H(Y|X)

交叉熵

衡量两个概率的符文p和q对事件X的相似性
H(p,q) = -\sum_x p(x)log q(x)
交叉熵衡量两个概率分布p和q对事件X的相似性,按理来说,两分布越相似,交叉熵越大

实际上,有一个性质:H(p, q) >= H(p), 当q为真实分布p时取等号。这是因为用错误的分布q得到的平均编码长度H(p,q)大于根据真实分布p得到的平均编码长度H(p)(直观理解)。

  • 交叉熵衡量两个概率分布p和q对事件X的相似性,按理来说,两分布越相似,交换熵越大。但这里的“相似性”是指如果两分布相同,H(p, q) = H(p),取最小值;而两分布不相似,H(p, q) > H(p),取值比 H(p) 大。所以,是反过来的,即两分布越相似,交换熵越小。
  • 由于交叉熵衡量两个概率分布p和q的相似性,因此常常用于神经网络的损失函数。
  • 交叉熵作为损失函数还有一个好处是使用sigmoid函数在梯度下降时能避免均方误差损失函数(MSE)学习速率降低的问题,因为使用MSE代价函数时在sigmoid输出饱和时学习速率(梯度)与sigmoid导数正相关,这时sigmoid导数趋于0,即很小,而使用交叉熵代价函数时学习速率与误差正相关,误差越大,学习速率越大,但与sigmoid导数无关,只被输出误差所控制。

另外在分类问题上;
以二分类举例为例,设置概率:q_(y=1) =\hat{y},q_(y=0) = 1- \hat{y}
H(p,q) = -\sum_i p_i log(q_i) = -ylog(\hat{y})-(1-y)log(1-\hat{y})

相对熵(KL散度)

KL(p||q) = -\sum_x p(x)log \frac{q(x)}{p(x)}
熵、交叉熵、相对熵性质
\begin{align} H(p,q) &= -\sum_x p(x)log q(x) \\\ &= -\sum_x p(x)log p(x) -\sum_x p(x)log \frac{q(x)}{p(x)} \\\ &= H(p) + KL(p||q) \end{align}
也就是交叉熵=熵+相对熵
相对熵(KL散度)性质:

  • 由于KL散度衡量两个概率分布p和q对事件X的不相似性,因此两分布越不相似,KL散度值越大。
  • 如果两分布相同,则KL散度值为0。KL散度非负且非对称。
  • KL散度可应用于生成式对抗网络GAN(衡量两个分布)。

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